54 A. V. BACKLUND, 



punkt såsom gemensam beröringspunkt. Det vill säga: »dubbelkurvan går genom de 

 stationära punkterna på kuspidalkurvan.» 



79. Kubiska polaren för y respektive C är komplexen af de tre närbelägna tan- 

 gentplanerna A, A', A" eller, såsom vi kunna säga, planet A tre gånger räknadt. Andra 

 polaren för en arbiträr punkt o i afseende på denna polaryta är sålunda planet A sjelf. 

 Då nu vidare P; Pf,~ 3 är identiskt med P$~ s Pl, d. ä. polarplan för y i afseende på andra 

 polaren för o respektive C, och då denna sednare polar alltid går genom y; så följer 

 häraf att »andra polarytan för o i afseende på C tangerar i punkten y på kuspidalkur- 

 van ytans oskulerande tangentplan i denna punkt.» — Kuspidalkurvan, såsom hafvande 

 en spets i y, skares sålunda af andra polarytan för o i fyra med y sammanfallande 

 punkter; dubbelkurvan, såsom i y tangerande polarytan, skär densamma i två med y 

 sammanfallande punkter. 



80. Beträffande de trefaldiga punkterna på C, är tydligt att hvarje andra polar- 

 yta går genom dem, alldenstund hvarje första polar har dem såsom dubbelpunkter. 

 Sålunda, då dessa punkter äfven tillhöra dubbelkurvan: »andra polarytan respektive C 

 för en godtycklig punkt såsom pol går genom de trefaldiga punkter på dubbelkurvan.» 



81. Vi hafva härmed utvecklat de följande tre af Salmon ') framställda formlerna; 

 nemligen af (70, 71, 75): 



(1) «(p — 2) = *-.+ <» + 2ff; 



af (71, 77, 79, 80): 



(2) ,u(p — 2) = p + 3/i+ 2y + 3r; 



af (74, 77, 79): 



(3) Kp — 2) = 2a + /? + 4/. 



82. Genom att bilda den korrelativa figuren och genom tillämpande af dessa 

 formler på dess singulariter: dubbelkurva etc, erhåller man häraf andra formler för 

 andra singulariteter hos C. — Jemte de förut begagnade beteckningarne införa vi föl- 

 jande nya: 



p = klassen för ytan C; x = antalet inflexionstangenter till ett arbiträr plans 

 skärningskurva med C; f-i = klassen för den developpabla ytan af dubbeltangent- 

 planerna till C; v = klassen för de stationära tangentplanernas till C developpabla 

 yta; Q = ordningen af orten för beröringspunkterna till dubbeltangentplanerna; 

 o = ordningen af orten för de stationära beröringspunkterna, cl. ä. ordningen för 

 den paraboliska kurvan på C; fi = antalet af de stationära tangentplaner som äfven 

 i en andra punkt beröra, d. ä. som på samma gång äro dubbeltangentplaner; 

 y = antalet af de planer som i två successiva punkter hafva stationär beröring; 

 r — antalet af de planer som i tre differenta punkter beröra C. 

 Under iakttagande att talet cc vid denna transformation blir oförändrad, såsom på 

 samma gång utmärkande ordningen för tangentkäglan till C och klassen för den plana 

 skärningskurvan med C, finna vi den korrelativa transformationen af de förra formlerna 

 bevisa oss giltigheten af de följande: 



l ) Salmon-Fiedler: Anal. Geometrie, s. 508. 



