OM GEOMETRISKA YTOR. 55 



a{p'— 2) = *'+p'H-2^ (4) 



/u'(p'— 2) = p'+ 3/?+ 2/+ 3 t, (5) 



y(p'— 2) = 2(7+ /H-4/'. (6) 



83. Tre bland dessa singulariteter kunna med lätthet framställas i funktion af 

 de förut gifna. 



Emedan nemligen ett plans skärningskurva med C är af ordningen p och af klassen 

 a, samt har (,u dubbelpunkter och) v spetsar, så erhåller man antalet af dess inflexions- 

 tangenter : 



*'= 3(« — p) + v. (7) 



Emedan vidare tangentkäglans ordning är a och dess skärning med ett plan så- 

 lunda är af samma ordning, samt denna kurvas klass är p och antalet af dess spetsar 

 a, så följer antalet af dess inflexionstangenter: 



v'= 3(y— a) + .<, (8) 



och af dess dubbeltangenter: 



f*'= hlAp— 10) + 4« — | k. (9) 



84. Till dessa formler foga vi den följande, som vi framdeles (98) skola bevisa 

 och i hvilken vi med & förstå antalet af de räta linier, som möjligen finnas på C så 

 beskaffade, att samtliga punkterna på en, hvilken som heldst, af dem hafva ett och 

 samma plan såsom tangentplan till ytan : 



a'= Ap{p — 2) — Sft — Hy— 2®. (10) 



Genom betraktande af den korrelativa figuren följer häraf: 



a == 4p'(p'— 2) — 8,u'~ l\y'. (11) 



§ II. Sista polaren för en yta, som saknar dubbel- och kuspidalkurva, i af seende 



på en gifven andra yta. 



85. Vi låta i det följande C„ +1 vara en yta af n -f- l:sta ordningen samt C m 

 vara en yta af m.:te ordningen, som till en början antages sakna dubbelpunkter. — 

 Enveloppen af polarplanerna, respektive C„ +i , för punkterna på C m såsom poler är 

 hvad man utmärker såsom denna sednare ytas n:te eller sista polar i afseende på den 

 första ytan. 



Af denna definition följer genast, att sista polaren för C m respektive C n+i är ort 

 för de punkter, hvilkas första polarer i afseende på den sednare ytan tangera den 

 första; — beröringspunkten med C m är pol, respektive C n+U till det plan, som tangerar 

 den sista polaren i den första punkten, polen till den C m tangerade första polaren. 



Vi finna af dessa två egenskaper hos sista polaren betydelsen af en dubbel- och 

 en kuspidalkurva på densamma. - - Dubbelknrvan är orten för de punkter, hvilkas 

 första polarer i afseende på C n+1 hafva en dubbel beröring med C m ; kuspidalkurvan 

 åter är orten för de punkter, hvilkas första polarer i afseende på C n+l hafva en statio- 

 när beröring med C m . 



De /? stationära punkterna på den första kurvan äro poler till första polarer, som 

 i en punkt hafva en stationär och i en andra punkt en enkel beröring med C m ; de y 



