56 A. V. BÄCKLUND, 



stationära punkterna på den andra kurvan hafva första polarer, som tangera C„ i tre 

 på kvarandra följande punkter. Slutligen hafva de t trefaldiga punkterna på dubbel- 

 kurvan första polarytor som tangera C,„ i tre differenta punkter. 



86. I det följande beteckna vi med C'" sista polaren för C,„ respektive C n+1 . 

 Skärningskurvan emellan denna yta och ett godtyckligt plan är redan förut (53) under- 

 sökt, Deraf sluta vi att ordningen för C'" är: 



(12) p = m(m-\-n — 2) 2 + 2to(w — l) 2 ; 



och, då dubbelpunkterna samt spetsarne på den plana skärningskurvan äro planets skär- 

 ningspunkter med dubbel- och kuspidalkurvan respektive, att dessa kurvors ordnings- 

 tal (A-, v äro: 



(13) ...ii = hn(m — 1) (m — 2) (to 3 -]- 4m 2 n — 5m 2 -f lOmri 2 — 20mn -f lim -f 12n :1 — 26n ä 



+ 20n — 18) + |ro(m ~ 1) (n — 1) (9n 3 — 3n 2 — n — 36) 

 + | m(n — 1) (ra — 2) (3n 2 — Sn —11); 



(14) v = ém(m — 2) (to + 3n — 4) + Um(n — l) 2 . 



87. Emedan vidare klassen för en plan skärningskurva med C m är lika med ord- 

 ningen för tangentkäglan till C m från en punkt i planet; så följer (53) att denna käglas 

 ordning är mn{m -\- 3n — 4), lika med ordningstalet « för dess beröringskurva med C 7 ". 



Klassen för C 7 " utmärkes af det antal tangentplaner, som kunna dragas till denna 

 yta genom en godtycklig rät linie; planer, h vilkas poler äro skärningspunkterna emellan 

 C m och polkurvan, respektive C„ + 1 , för denna linie. Sålunda är klassen p' för C m och 

 dermed klassen för dess tangentkägla lika med m . ii 2 . 



Tangentkäglan från en gifven punkt o kan man ock definiera såsom enveloppen 

 af polarplanerna, respektive C n + i , för punkterna på skärningskurvan emellan C,„ och 

 första polaren för o i afseende på C n+1 . Då denna skärningskurva i allmänhet ej har 

 någon spets, så har i allmänhet ej heller tangentkäglan något vändtangentplan. Häraf 

 och af de ano-ifna värdena för käglans ordning och klass härleder man medelst Pluc- 

 kers formler [för de plana kurvorna eller käglorna], att tangentkäglan till C"" har sta- 

 tionära generatricer af ett antal ^ = 3mn(m -\~ 2n — 4). 



88. De o tangentplaner till C'", som gå genom o och hafva sina beröringspunk- 

 ter på kuspidalkurvan, äro, enligt den föregående definitionen på denna sednare kurva, 

 polarplaner för skärningspunkterna emellan första polaren för o, respektive C n+1 , och 

 orten för de stationära beröringspunkterna emellan C,„ och ytor i första polarsystemet 

 respektive C n + i . Sålunda är (56): 



(15) g = Amn(m -\- 2n — 4). 



89. Equationen (1) lemnar oss härefter värdet för Q, som är antalet af de tan- 

 gentplaner till C", hvilka gå genom o och hafva sina beröringspunkter på dubbelkurvan: 



(16) Q = mn{m -\~ 3n — 4) [to(to + n — 2)'-' + 2m(n — l) 2 — 2] — ll??m(m -f- "2n — 4). 



Poleima till dessa p tangentplaner äro skärningspunkterna emellan första polaren 



för o, respektive C, ! + 1 , och orten för beröringspunkterna emellan C,„ och de ytor i polar- 

 systemet, respektive C n+1 , som med C m hafva en dubbel kontakt. Den föregående be- 

 stämningen gifver oss då ordningstalet för denna ort: 



