OM GEOMETRISKA YTOR. 57 



»Orten för beröringspunkterna emellan en yta C m och de ytor af ?i:te ordningen 

 »i ett gifvet system, som med denna yta hafva en dubbel beröring, är en kurva 

 »af ordningen: 



m(m + Bn — 4) [m(m + n — 2) 3 + 2m(n — l) 2 — 2] — llm(m + 2n — 4).» 



90. Emedan hvardera af de i (55) nämda 2m(n — l)(2m-\-3n — 5) punkterna i 

 på C m bestämmer en knippa ytor i polarsystemet respektive C, ! + 1 , livars samtliga ytor 

 tangera C m i denna samma punkt, och polarplanet för en punkt p på C m tangerar C' i 

 polen till den första polar som tangerar C™ i p, samt, när p sammanfaller med en af 

 punkterna i, de sistnämda polerna ligga på en rät linie ; så måste polarplanerna för 

 punkterna i tangera sista polaren för C„ längs räta linier 1. — Sålunda: 



»Det finnes 2m{n — 1) (2m -\- 3n — 5) räta linier, hvilka i hela sin utsträckning 

 »ligga på sista polarens yta, och längs hvardera af hvilka denna yta tangeras af 

 »ett och samma plan.» 



91. Af (55) framgår vidare, att på hvarje linie 1 måste finnas tvenne punkter, 

 hvilkas första polarer i motsvarande punkt i hafva en stationär beröring med C,„. Detta 

 bevisar att hvarje linie 1 måste träffa kuspidalkurvan i två, differenta, punkter. 



Enligt sista satsen (73) är kuspidalkurvans tangent i en af dess punkter orten för 

 de tre räta linier som i denna punkt skola hafva en beröring af tredje ordningen med 

 C' m , eller: kuspidalkurvans tangent i en punkt c är den enda räta linie, som skär C m i 

 fyra med c sammanfallande punkter. Häraf följer att, om c är en af de två punkter, 

 i hvilka kuspidalkurvan träffar en linie /, denna räta linie, som liggande på C"" och 

 derföre skärande densamma i fyra och flera än fyra med c sammanfallande eller c när- 

 belägna punkter, måste vara i c tangent till kuspidalkurvorna. — Vi inse härmed san- 

 ningen af följande sats: 



»Hvardera af de i förra artikeln bestämda räta linierna I tangerar sista pola- 

 »rens kuspidalkurva i tvenne punkter. Sista polarens oskulerande tangentplaner i 

 »dessa punkter sammanfalla med det plan, som enligt föregående artikel tangerar 

 »samma yta längs hela linien.» 



92. Första polaren för en godtycklig punkt o, i afseende på C'", skär denna yta 

 i trenne kurvor: beröringskurvan för de tangentplaner till C'" som gå genom o, dubbel- 

 kurvan och kuspidalkurvan, i h vilken sednare kurvas punkter den tangerar de oskule- 

 rande tangentplanerna till C"". Om c är en punkt på kuspidalkurvan och t är dess 

 tangent i denna punkt, så måste, alldenstund t skär C'" i fyra med c sammanfallande 

 punkter och denna yta derstädes har två närbelägna tangent-planer, kubiska polarytan 

 för c, respektive C"\ hafva denna linie såsom återvändstangent. Hvarheldst än o må 

 ligga, skall då P a P?~ 3 innehålla linien t; eller, på annat sätt uttryckt, räta linien t 

 ligger på Pf -3 P a , som är quadratiska polaren för c i afseende på första polaren för o, 

 respektive C m . Detta bevisar att »tangenten till kuspidalkurvan i en punkt på densamma 



»är inflexionstangent i samma punkt till första polaren respektive C"" för en god- 

 »tycklig punkt såsom pol.» 

 Första polaren för o skär sålunda hvarje af de förutnämcla räta linierna I, utom 

 i dess två beröringspunkter med kuspidalkurvan — hvardera enligt det nu nämda 



K. Vet. Akad. Handl. B. 9. K:o 9. " 



