58 A. V. BACKLUND, 



räknad såsom tre skärningspunkter — i p — 1 — 2 X 3 = p — 7 andra punkter. — 

 Emedan vidare / ligger på C m , måste dessa punkter tillhöra någon af de två första i 

 början af denna artikel nämda kurvorna. Då de åter i allmänhet ej kunna tillhöra 

 beröringskurvan med tangentkäglan från o, emedan deras tangentplaner äro det (90) 

 bestämda längs hela I tangerande planet (som ej antages gå genom o), så måste de 

 ligga på dubbelkurvan. Häraf följer: 



»Hvar och en af de räta linierna / träffar dubbelkurvan på sista polarytan C m , 

 »hvilken ytas ordning vi utmärka med p, \ p — 7 punkter.» 



93. Denna sats bevisar oss om C m att: 



»Orten för beröringspunkterna emellan C m och de ytor af n:te ordningen i ett 

 »gifvet system, som med denna yta hafva dubbel beröring, går m(m -\- n — 2) 2 

 »-(- 2m(n — l) 2 --7 gånger genom hvardera af de i (55) bestämda 2m(n — 1) X 

 »X (2m-\-3n — 5) punkterna 2.» 

 Detta tal = p — 7 angifver, huru många ytor tillhörande en knippa, hvars alla 

 ytor tangera C m i samma punkt i, kunna dragas tangerande C m i ännu en annan punkt. 

 Om vi förut hade på annat sätt, till exempel genom methoden (46), bestämt detta an- 

 tal, skulle vi äfven kunnat bestämma ordningen för den förutnämda kurvan på samma 

 sätt som ordningen af orten för de stationära beröringspunkterna bestämdes (56). 



Om J utmärker Jacobis yta för C m och ett visst nät ytor i det gifna systemet, 

 så går J genom samtliga punkterna ^ och skär orten för beröringspunkterna till ytor 

 med dubbel kontakt i: l:o de punkter, hvilka äro beröringspunkter emellan C m och de 

 ytor i nätet, som med denna yta hafva dubbel beröring; 2:o i punkterna i, genom hvar- 

 dera af hvilka den sökta orten måste hafva så många grenar som ytor tillhörande den 

 knippa i systemet, hvars ytor samtliga tangera C' m i i, kunna dragas, i ännu en annan 

 punkt tangerande densamma ytan. 



Om £ utmärker det sökta ordningstalet och ,u är det (53) angifna antalet af ytor 

 i ett nät med dubbel kontakt; så blir, emedan J är af ordningen m -f- 2>n — 4, ord- 

 ningstalet S, när /; bestämmes genom eqvationen (12), gifvet genom eqvationen: 

 '§{m -f- 3ra — 4) = 2,« + (p — 7) 2m(n — 1) (2m + 2>n — 5). 

 Genom beräkning af '§ efter denna formel erhåller man tillbaka det (89) angifna 

 ordningstalet. 



94. Enligt hvad (85) är nämdt om geometriska betydelsen af de y stationära 

 punkterna på sista polarens kuspidalkurva, följer af (65) att dessa punkters antal är: 

 (17) y = 2m{m -f 2n — 4) (lim -f- 20n — 44) — 10m(n — 1) (2m + 3re — 5). 



Genom att i eqvationerna (2) och (3) insätta de värden för p, ,u,...y, som genom 

 eqvationerna (12) — (17) äro bestämda, erhåller man slutligen värdena för /? och t. — 

 Dessa tals geometriska betydelse är framställd förut (85). 



Enligt den (4) angifna öfverensstämmelsen emellan ytor i ett arbiträrt system 

 med första polarer för punkter, respektive en geometrisk yta, äro genom talen fi, t 

 utmärkta: antalet ytor af n:te ordningen i ett gifvet system, hvilka med C m hafva i en 

 punkt en stationär och i en annan punkt en enkel beröring; samt vidare antalet af de 

 ytor i systemet, hvilka i tre differenta punkter tangera C m . 



