OM GEOMETRISKA YTOR. 59 



95. De värden på /? och t, som erhållas för det fall att m = 1, bevisa oss de 

 följande satserna: 



»I ett system kurvor af n:te ordningen liggande i samma plan finnas i allmän- 

 »het I2(n — 3) (3n 3 — Qn 2 — lin-)- 18) kurvor, hvardera besittande en dubbelpunkt 

 »och en spets.» 



»1 ett system kurvor af n:te ordningen liggande i samma plan finnas i allmän- 

 het hn{n — 3) (3n 2 — 3n— 11) (3n 2 —6n-\-l) — (n— 3)(30n 3 — 72n 2 — 87n + 170) + 15 

 »kurvor, hvardera med tre dubbelpunkter.» 



96. Af (87) följer för sista polaren C"", att klassen v (82) för den af dess sta- 

 tionära tangentplaner envelopperade ytan är = 0; och sålunda enligt eqv. (6) att o' = 



Af eqvationen (7) härleder man vidare, att dess skärning med ett plan har 

 #'= m(m 2 -f- dmn — 12m-\-12n 2 — SQn -\- 26) inflexionstangenter; af (9) att klassen för 

 den af dess dubbeltangentplaner envelopperade ytan är /«'= jmn(mn a — m — An -\- A), 

 och af (4) att orten för beröringspunkterna emellan C m och dess dubbeltangentplaner 

 är en kurva af ordningen p' — m(m 2 n 3 -\- 3mn i — Amn 3 - - Umn — 18n 2 -\- AAn — m 2 -j- 

 12m — 26). 



Af eqvationen (5) slutligen erhåller man t, uttryckande antalet af cle trefaldiga 

 tangentplanerna till C"; — planer, som hvardera hafva tre af sina n 3 poler, respektive 

 C n+1 , liggande på C m . 



97. Anmärkning till de föregående artiklarne i denna paragraf. — Om C,„ skulle 

 hafva d dubbelpunkter, bestämmas dess sista polarytas singulariteter medelst de värden 

 för p, /u, v, y, som i artiklarne (54, 66) blifvit gifna. 



98. Af (96) har framgått att sista polaren C'"' saknar, i egentlig mening, para- 

 bolisk kurva. Detta förhållande skola vi nu närmare söka förklara. 



Om p är en punkt på en af de räta linierna 1 (90) och A är tangentplanet i p> 

 till sista polaren C m , så skares denna yta af A, emedan detsamma planet är tangent- 

 plan längs hela linien I i h varje punkt på densamma, i en kurva som består af / sjelf, 

 två gånger räknad, samt en kurva af ordningen p — 2. Detta bevisar att de båda in- 

 flexionstangenterna i p till C™ sammanfalla med 1, att sålunda quadratiska polarytan 

 för p i afseende på C" är en kon med 1 såsom generatrice. - - Hesses yta för C" går 

 derföre genom p och innehåller dermed räta linierna 1. Tangentplanet till Hesses yta 

 i punkten p bestämmes medelst satserna (26, 29, 30). 



Om nemligen o är spetsen till qvadratiska polaren för p, så skall andra polaren 

 för ett arbiträrt plan genom o (30), andra polaren för en arbiträr linie genom o (29) 

 och dermed (26) andra polaren för o tangera Hesses yta i punkten p. Men Pl P$~ 

 är enligt föregående planet A; derföre ock P/ -3 P 2 - - tangentplanet i p till andra po- 

 laren för o — samma plan. Härmed är följande sats bevisad: 



»Om en geometrisk yta C innehåller en rät linie / och i alla punkter på denna 

 »linie har ett och samma plan såsom tangentplan, så måste Hesses yta för C 

 »äfvenledes innehålla 1 och längs densamma tangera ytan C.» 



Har C en dubbelkurva ([*), så gå alla ytorna i första polarsystemet för C genom 

 (,«) och derföre, om A, B, C, D äro fyra första polarer icke tillhörande samma nät, 



