60 A. V. BÄCKLUND, 



måste T E (43), respektive A, B, C och ett arbiträrt plan E, gå genom (,u); äfvensom T' E , 

 respektive A,B,D, gå genom samma kurva. Om E, E, ... Si äro planer som gå genom 

 en och samma linie B, generera kurvorna (T E T E ), (T E T E ) ... komplexen af J R , respek- 

 tive A, B, med Jacobis yta för A, B, C, D. (47). 



Denna ytas skärningskurva med Si är genererad af skärningspunkterna emellan, 

 samma plan E motsvarande, kurvor i två knippor, utgörande sektioner emellan Si och 

 knipporna (T E , T E ), (T E , T]?). Emedan båda dessa knippor hafva skärningspunkterna 

 emellan Si och (ju) såsom gemensamma basispunkter, samt planets sektioner med Ta, Ta. 

 äro Jacobis ytor för sektionerna med ytorna i näten (A, B, C) och (A, B, D) respektive, 

 och derföre hafva punkterna på («) såsom dubbelpunkter *); så följer (16), att den 

 ifrågavarande ytans skärningkurva med Si har tre grenar genom hvardera af punkterna 

 på (,u), och, såsom man finner genom lämpligt val af A, B, C, D, två af dess grenar 

 tangera, ytan C i dessa punkter. 



Emedan nu J R ej går genom (,u), så följer om Jacobis yta för polarerna A, B, C, D, 

 hvilken yta är (23) Hesses yta för C: 



»En dubbelkurva på en geometrisk yta C är trefaldig kurva på Hesses yta för 

 »C, och två af Hesses ytas grenar genom densamma tangera C» 



Har C en kuspidalkurva (v), så gå alla första polarer A, B, C, D genom {v) och 

 tangera derstädes C; ytan J R går då äfven genom {v) och ytorna T E , T E hafva densamma 

 kurvan såsom dubbelkurva. Betrakta vi, såsom förut, sektionerna emellan dessa sednare 

 ytor och Si, samt bemärka, att planets sektioner med Ta och T'a, såsom varande Ja- 

 cobis kurvor för sektionerna med näten (A, B, C) och (A, B, D) respektive, hafva tre 

 grenar genom hvardera af skärningspunkterna mellan Si och (y), med två af dessa gre- 

 nar derstädes tangerande C 2 ); så finna vi, att sektionen mellan SI och den af Hesses 

 yta för C samt J R sammansatta ytan har fem grenar genom skärningspunkterna mellan 

 Si och (^) och att minst två af dem tangera C. 



Frånräknas J K , som går genom (v), så återstår att Hesses yta går fyra gånger 

 genom (i j ) och att minst två af dess grenar tangera C. 



Skärningskurvan emellan sista polaren C m och Hesses yta för densamma skall, 

 enligt de två första satserna i denna artikel, träffa ett plan, utom i dess skärnings- 

 punkter med dubbelkurvan och med de räta linierna 1, i 4p(p — 2) — 8," — 4m (n — 1) X 

 X(2m-\-3n — 5) punkter. Bland dem måste enligt det nu nämda, kuspidalkurvans 

 skärningspunkter med planet vara innehållna, hvardera punkt räknad ett visst antal 

 gånger. Detta antal, x, är lätt att bestämma genom hvad förut är bevisadt, nemligen 

 (7= 0. Ty a' = ordningen för den paraboliska kurvan på C", är just 4p(p — 2) — 

 8," — 4m(n — 1) (2m -j- 2>n — 5) — x . v, och för att detta uttryck genom substitutionerna 

 (12) — (14) skall försvinna, måste nödvändigt x = 11. 



Detta, i förening med det förut nämda, bevisar att 



»En kuspidalkurva på C är en fyrfaldig kurva på Hesses yta för C, och tre af 

 »denna ytas grenar genom densamma kurvan tangera C. Tangentplanet till C i en 



1 ) Cremona: Einleitung etc, s. 138. 



2 ) Cremona: Einleitung etc., s. 139. 



