OM GEOMETRISKA YTOE. 61 



»punkt på den nämda kuspidalkurvan skär Hesses yta i en kurva med sju grenar 

 genom denna punkt» 1 ). 

 Genom dessa satser är formeln (10) i detta kapitels första paragraf bevisad. 



§ III. Steiners yta för en geometrisk yta, som saknar dubbelpunkter. 



99. Definierande Hesses yta för C m såsom orten för de punkter, hvilkas qvadra- 

 tiska polarytor respektive C m äro koner, kan man bestämma Steiners yta för C m såsom 

 orten för dessa koners spetsar. Enligt theoremet: »Om qvadratiska polarytan för p har 

 en dubbelpunkt i o, så har första polaren för o en dubbelpunkt i p» blir härmed Stei- 

 ners yta ort för de punkter, hvilkas första polarer respektive C m hafva en dubbelpunkt, 

 och, såsom redan (23) är nämdt, Hesses yta orten för dessa dubbelpunkter. 



Skärningspunkterna emellan Steiners yta och en godtycklig transversal äro sålunda 

 polerna till de första polarer i en knippa, hvilka hafva en dubbelpunkt; deras antal är 

 (42) lika med 4(m — 2) 3 och sålunda: »Ordningen för Steiners yta är 4(m — 2) 3 ». 



100. I det följande skola vi med o utmärka en punkt på Steiners yta och med 

 p dubbelpunkten till första polaren för o respektive C„, samt serskildt utmärka p och 

 o såsom motsvarande punkter på Hesses och Steiners ytor. 



Vid bevisningen af första satsen (98) har framgått, att andra polaren för o i af- 

 seende på C m tangerar Hesses yta i punkten p; att sålunda: 



»Tangentplanet till Hesses yta i en punkt p är polarplanet för clen motsva- 

 »rande punkten o i afseende på den i p oskulerande tangentkäglan till första pola- 

 »ren för o respektive C m .» 

 I likhet härmed gäller satsen: 

 »Tangentplanet till Steiners yta i en punkt o är polarplan, respektive C m , för 

 »den motsvarande punkten p.y> 

 Emedan nemligen första polaren för o har en dubbelpunkt i p, så träffar den- 

 samma Hesses yta i en kurva som i p har en dubbelpunkt. Häraf följer att icke blott 

 polarplanet för p, respektive C m , utan äfven polarplanerna för de p nästgränsande 

 punkterna på Hesses yta, emedan dessa ligga på den nämda skärningskurvan, måste 

 gå genom o. — ■ Detta bevisar att, när p genomlöper Hesses yta, polarplanet p, för re- 

 spektive C m rör sig som tangentplan till Steiners yta. Dermed den föregående satsen 

 äfvensom den nu följande: 



»Klassen för Steiners yta är 4(m — l) 2 (ni — 2).» 



101. Enligt den nu angifna egenskapen hos Steiners ytas tangentplaner blir 

 denna yta en del af sista (= rii — l:sta) polaren, respektive C m , för Hesses yta. Detta 

 följde deraf att första polarerna, respektive C m , för punkterna på Steiners yta, såsom 

 hafvande de motsvarande punkterna på Hesses yta till dubbelpunkter, äro att betrakta 

 såsom i dessa sednare punkterna tangerande Hesses yta. — Men af den för Steiners 

 yta, betraktad såsom en del af sista polaren för Hesses yta, egendomliga egenskapen 

 att dess punkters första polarer, respektive C m , icke blott tangera Hesses yta, utan hafva 



*) Eller: »Hesses yta skär C i kuspidalkurvan, fyra gånger räknad, och i en oändligt nära belägen kurva af 

 »samma ordning, tre gånger räknad, varande trefaldig för Hesses yta.» 



