62 A. V- BÄCKLUND, 



derstädes dubbelpunkter, och sålunda i de samma punkterna tangera hvilken annan 

 yta som heldst dragen genom dem, följer att: 



»Sista polaren, respektive C m , för en yta C, hvilken som heldst, tangerar längs 



»en kurva Steiners yta för C,„. Denna kurvas punkter motsvara punkterna på 



»skärningskurvan emellan C och Hesses yta för C,„.» 



102. Vi hafva förut (30) visat, att Hesses yta har I0(m — 2) s dubbelpunkter, 

 hvilkas qvadra tiska polarytor äro planpar; deras axlar ligga på Steiners yta, enligt den 

 definition som först (99) blifvit gifven för densamma; sålunda: 



»Steiners yta för C,„ har 10(m — 2) 3 räta linier, i hela sin utsträckning liggande 

 »på densamma; längs hvardera af dessa linier tangeras ytan af ett och samma plan» '). 



103. Af första satsen (100) och definitionen (19) på andra polaren för en rät 

 linie härleder man: 



»Andra polaren, respektive C„„ för den räta linie på Steiners yta, som motsva- 

 »rar en dubbelpunkt w på Hesses yta, har sjelf en dubbelpunkt i co och oskulerar 

 »derstädes Hesses yta.» 



104. Af (100) följer att den af de stationära tangentplanerna till C,„ enveloppe- 

 rade ytan tangerar Steiners yta för C m längs en kurva, ort för spetsarne till qvadra- 

 tiska polarerna, respektive C m , för punkterna på denna sednare ytas paraboliska kurva 

 såsom poler. Beröringskurvans ordning bestämmer man på följande sätt: 



Andra polaren för ett plan E tangerar Hesses yta längs en kurva (30) af ord- 

 ningen 6(to — 2)", ort för de punkter, hvilkas qvadratiska polarytor äro koner med spet- 

 sarne på E. Denna kurva skär C,„ och sålunda dess paraboliska kurva i 6m(m — 2) 2 

 punkter, hvilka äro af den beskaffenheten att deras qvadratiska polarytor äro koner 

 med spetsarne i E. Dessa sednare spetsar äro planets E skärningspunkter med den 

 ifrågavarande beröringskurvan. 

 Härmed är bevisadt, att 

 »Den af de stationära inflexionstangenterna till C m genererade ytan berör Stei- 

 »ners yta för C m längs en kurva af ordningen 6to(to — 2)". Densamma träffar 

 »hvardera af de nämda inflexionstangenterna i blott en punkt.» 



105. Af (67, 68) framgår bestämningen af ordningstalen för dubbel- och kuspi- 

 dalkurvan på Steiners yta. — Af den ofvan (99, 100) uppställda motsvarigheten emellan 

 punkterna o och p på Steiners och på Hesses ytor framgår nemligen, att, »om o är 

 en punkt på dubbelkurvan för Steiners yta, densamma måste vara pol, respektive C„„ 

 till en första polar som har två differenta dubbelpunkter,» de punkter, hvilka på Hesses 

 yta äro poler, respektive C m , för de båda tangentplanerna i o till Steiners yta. På 

 detta sätt finna vi vidare, »att hvarje punkt på kuspidalkurvan för Steinees yta är pol, 

 respektive C„„ till en första polar, som har två närbelägna dubbelpunkter, sålunda till 

 en första polar, som har en dubbelpunkt, hvars oskulerande tangentkon är ett planpar.» 



Häraf sluta vi nu: 

 »Steiners yta har en kuspidalkurva af ordningen 30(w, — 2)" (to — 3) och en 

 '»dubbelkurva af ordningen 2(to — 2) 2 (to — 3) (4to :; - - 20m 2 + 36to — 45).» 



1 ) De nu gifna satserna om Steiners yta finnas äfven i Cremonas Grundziige etc, ss. 141, 142. 



