OM GEOMETRISKA YTOR. 63 



106. Alla ytorna i den knippa första polarer, hvars poler ligga på en af de (102) 

 nämda räta linierna, hafva en dubbelpunkt i den dubbelpunkt co på Hesses yta som 

 motsvarar linien. De i co oskulerande tangentkonerna till dessa polarer bilda då äfven- 

 ledes en knippa, och emedan bland dessa koner finnas tre, som äro planpar, så måste 

 ock i den föregående polarknippan finnas tre ytor, hvardera hafvande co såsom en dub- 

 belpunkt, hvars oskulerande tangentkon är ett planpar. — Polerna, respektive C m , till 

 dylika första polarer ligga enligt föregående artikel på Steiners ytas kuspidalkurva. 

 Häraf och under användande af sammma resonnement som i (91, 92) följer att: 



»Hvar och en af de 10(m — 2) 3 linierna på Steiners yta tangerar i tre diffe- 

 »renta punkter samma ytas kuspidalkurva, och träffar dermed dess dubbelkurva i 

 »4(m — 2) 3 - - 10 punkter.» 



107. I (90) hafva vi bestäindt inflytandet på sista polaren respektive C n +i af 

 vissa punkter i på dess fundamentalyta. För det fall att fundamentalytan är Hesses 

 yta för C m , och att direktrix C M+ i är C,„ sjelf, bilda punkterna i, såsom vi se af (51), 

 en kurva på Hesses yta af ordningen 2(m — 2) (ll??t — 24). — Af (90, 100) eller defini- 

 tionen (85) på sista polar följer då, att 



»Sista polaren, respektive C,„, för Hesses yta till C„, består af tvenne ytor: 

 »Steiners yta för C m och den developpabla yta, som är sista polar i afseende på 

 »C'„ för en viss på Hesses yta befintlig kurva af ordningen 2(m — 2) (11 »i — 24).» 



108. Af den omständigheten, att den sednare kurvan måste gå genom dubbel- 

 punkterna på Hesses yta, och genom hvardera af dem tre gånger, såsom lätt härledes 

 af (51), följer att 



»De båda ytor, af hvilka sista polaren respektive C,„ för Hesses yta till C m be- 

 »står, tangera hvarandra längs de 10(m — 2) 3 räta linierna på Steiners yta. Hvar- 

 »dera af dessa linier är ort för tre generatricer till den developpabla ytan.» 

 På hvar och en af de öfriga generatricerna till den developpabla ytan finnes 

 alltid en punkt, hvars första polar respektive C M har en dubbelpunkt i motsvarande 

 punkt på den ofvannämda kurvan af 2(m — 2) (lim — 24):de ordningen. Dessa punkter 

 bilda en kurva, längs hvilken den developpabla ytan och Steiners yta tangera hvar- 

 andra. — ■ Genom den method, som i (104) varit använd, finner man ordningen för 

 denna kurva vara 3(m — 2) 2 (lim — 24) — 15(m — 2) 3 = 6(m — 2) 2 (8m — 7). Häraf: 



»De båda ytor, som tillsamman utgöra sista polar respektive C„, för Hesses yta 

 »till C m , tangera hvarandra, utom i de räta linierna på Steiners yta, i en kurva af 

 »ordningen 6(m — 2) 2 (8m — 7). Denna kurva träffas af hvarje generatrice till den 

 »developpabla ytan, som utgör den ena beståndsdelen af den nämda polaren, i en- 

 »dast en punkt.» 



109. Under iakttagande att andra polaren, respektive C„„ för ett plan tangerar 

 Hesses yta längs en kurva af ordningen 6(m — 2)", som är ort för dubbelpunkterna till 

 första polarerna respektive C m för planets punkter, och att denna kurva går genom 

 Hesses ytas dubbelpunkter (30), finner man om den kurva (n), som på Hesses yta mot- 

 svarar Steiners ytas kuspidalkurva, att dess skärningspunkter med andra polaren för 

 ett gifvet plan äro: 1:6 dubbelpunkterna på första polarerna, respektive C m , för planets 



