FORMLER SOM BERÖRA ELLIPTISKA FUNKTIONER. 19 
Om vi i stället för (1) sätta differentialformeln 
dog: 
i Rp = 1—0(0,)' Ö- ORO Ol OL 0 DIG DO OO ÖFED OD DÖ. OG (115) 
samt dess integral 
1 1+ Oqt a 
älg SE TER SSE rr OS OST SINE SRA (116) 
såsom utgångspunkt för våra utvecklingar, så erhållas formler, hvartill vi omedelbart 
kunna leda oss genom att i våra förut framställda formler sätta 
PEPT 5) 
SSR EE FE ae (117) 
fll fi 
eller, som är detsamma, då Rp = X + Vz samt 0, = + Ya: 
AN NAN 
Vr=X | 
SR CR RN 2 NA RIE Gr BA VREDE (118) 
= | 
y = Xx / 
Om nu 0, representerar en cirkel, så representerar Rp vår först afhandlade kurva 
EFGH (se fig. 1), dock med den skilnad, att den nu är refererad till ett axelsystem, 
hvars positiva NX-axel sammanfaller med OH. Analogt gäller, om 0, representerar en 
rät linie. Hela skilnaden reducerar sig sålunda till en vridning af axelsystemet YOX 
en vinkel = — => då de af R, och 0, representerade kurvorna bli identiska med de af 
Rp och 0, representerade. Vi se således, att (115) och (116) hade varit lika ändamåls- 
enliga utgånaspunkter för våra utvecklingar som (1) och (3). 
Slutanmärkning. Det skulle nu stå oss öppet att på samma sätt som i II och III 
tillämpa de generella formlerna i I på de fall, då o, representerar andra kurvor än cirkeln 0 = 
konst. och räta linien y = ax, t. ex. ellipsen, hyperbeln, parabeln etc. I sjelfva verket skulle vi för 
dylika fall erhålla relationer, i sig sjelfva lika intressanta, som de här funna. Vi hafva inskränkt 
oss till de två anförda fallen, emedan dessa beröra formler, som till en del äro förut undersökta 
och derföre af särskildt intresse. Utom detta har målet för vår utveckling här varit, att antyda 
den outtömliga rikedom på mathematiska relationer, som theorien om de geometriska quanta i sig 
innebär, förutsatt att denna theori grundas på en konkret geometrisk åskådning. Vi hafva vecklat 
ut det innehåll som ligger i den enkla geometriska relationen dR, = jemte dess integral. 
Vi hafva funnit, huru redan ur denna grenar ut sig ett, snart sagt, outtömligt förråd af nya relationer. 
På samma sätt kunna vi tänka oss hvarje uttryck dt, = 7 (09) «do, jemte dess integral R, = F(0,) 
behandladt. Vi kunna gå än längre och intaga i vara funktioner flera variabler och behandla derivator af 
högre ordning än den första samt uttryck, som hafva form af differentialeqvationer. Hvad vi här i vår 
utveckling I förutsatt och som alltid måste ligga såsom ovilkorlig förutsättning för ett vetenskapligt 
realiserande af det nu antydda, är den geometriska theori, som ur fullt säkra och hållbara principer lägger 
i dagen den inre betydelsen och nödvändigheten af de ifragasatta operationslagarna. 
