6 H. HOLMGREN, 
I afseende på F(x) fordras, till följe af vilkoret i 2:0, att den skall vara en be- 
stämd och kontinuerlig funktion af x mellan gränserna p och qg, samt till följe af 3:0, 
att Fx) ej får hafva maxima eller minima mellan dessa gränser. Dertill bör läggas 
vilkoret, att F”(y) mellan y=a och y=F(x) skall hafva sådana värden, som låta förena 
sig med vilkoret i 2:o i det fall, att man ger åt konstanten a värden som ej innefattas 
mellan F(p) och F(q9). 
I afseende på F(x, y) uttryckes genom vilkoret i 1:0o, att denna funktion är sådan, 
att integralerna i formeln (2) erhålla ändliga och bestämda värden. 
Har deremot f(x) maxima eller minima mellan z=p och z=4q, eller är den mel- 
lan samma gränser diskontinuerlig, så kan man, om så behöfves, först genom integra- 
tions-intervallernas delning ersätta den gifna integralen 
F(2) 
Jie, Je y) dy 
med två eller flera andra, som AG för sig uppfylla vilkoren i afseende på F(z) och 
någon dess inversa funktion F-(«x). Likaså kan man förfara när konstanten a ej från början 
uppfyller det angifna vilkoret. Derefter kan å hvar och en af de särskilda integralerna 
formeln (2) tillämpas. Erinrar man sig vidare, att hvarje enkel integral, hvars gränser 
innehålla hvilka variabler som helst, kan ersättas med skillnaden mellan tvenne andra, 
i hvilka de nedre gränserna äro oberoende af dessa variabler, så erhålles till resultat, att 
hvarje dubbel-integral kan ersättas med en eller flera andra, i hvilka integrations- 
ordningen är den omvända. 
Antaga vi nu att i en gifven 'dubbel-integral 
q F(z) plz) 
får fr, y) dy 2 fö fre y) dy 
p fa) PHD RKA 
gränsfunktionerna F(z) och f(x) samt den godtyckliga konstanten a äro sådana, att för 
användning af formeln (2) ingen ytterligare delning af integrationsintervallerna behöfver 
företagas, så erhålles vid omvändning af integrationsordningen formeln 
Pie 
får fr y) dy =/ | 5 Jr BYAR SE STORE ANS (3). 
Pp £(z) QE=VRw=pA 
Högra membrum innehåller här i allmänhet 4 NE hvilka reduceras 
till 3 genom att åt den godtyckliga konstanten a gifva något af de 4 värdena 
52), £(0, El(p) eller F(9). 
Härigenom erhålles för omvändning af integrationsordningen i en sådan dubbel- 
integral 4 olika formler, hvilka naturligtvis kunna härledas ur en enda bland dem. 
Dessa formler äro jemte flera andra, af dem lätt härledda modifikationer, först, ehuru 
på helt annan väg, framställda af Hr WiInCELER ”), som deraf gjort många intressanta 
tillämpningar. 
”) Allgemeine Transformation der bestimmten Doppel-Integrale von A. WINCKLER. Denkschriften der Kaiser- 
lichen Akademie der Wissenschaften in Wien. Bd. XX. 
