14 H. HOLMGREN, 
som uppkommer vid substitution af x=qg(y) i integralen 
faan 
fordras tydligen, att då man låter y i g(y) genomlöpa den kontinuerliga följden af 
värden från g& (a) till g—(b), ply) sjelf antager en kontinuerlig följd af värden från a 
(motsvarande y=g "(a)) till b (motsvarande y = gq"(6)). Omvändt följer häraf att, om 
substitutionen z=q(y) skall kunna på detta sätt användas, så måste af eqvationen 
g(y)=2 kunna härledas en invers funktion y=4 "(x) som är kontinuerlig mellan x=2a 
och x=)b samt mellan dessa gränser ger identiskt 
lp (a) =. 
I detta vilkor ligger bland annat att denna funktion g(x) ej kan hafva maxima 
eller minima mellan nämnde gränser; ty den skulle i sådant fall hafva samma värde 
för tvenne olika serier af värden på x mellan a och b, hvilket skulle strida emot 
eqvationen (lg (x)) =, i hvilken fly) naturligtvis är en gifven entydig funktion. 
För giltigheten af eqvationen (28) fordras alltså att det finnes en bestämd och 
entydig funktion g(x), som mellan gränserna z=a och x=b är kontinuerlig och ger 
identiskt 
på(p (2) =. 
Vi kalla i det följande en sådan funktion för passande funktion. 
Finnes deremot ej någon sådan funktion, så är substitutionen x= gy) Sönsgon 
orimlig, eller kan den ej utan föregående delning af integrationsintervallet Användes 
2. Dubbelintegraler. 
Insätter man i 
F(z) 
ER BJ NAY sar ons Ande Ea UNS DE RS ARK UMAR BIE MAIENSA 29) 
föra 
y = Au, z) 
Sf RA RR Ad ao tinrna (30), 
u— 07-(4, 2) 
o 
så erhålles, under förutsättning att en sådan funktion 97(y, x), som vi i det före- 
gående kallat passande, finnes, med afseende på intervallet y=/(x) till y = F(x), 
4 — SUF), v) 
= lde VE(£, SS x))- du. 
Pp Afa, 
I denna dubbelintegral omvända vi FULT AE TR i enlighet med formeln 
(3) hvaraf följer 
t=4 P=F IAP0. 
L= | | du NE (GO, ON dar RAA NR (31), 
t=p P=f V Ug 
