16 H. HOLMGREN, 
så finnes up genom ett värde på t, som af samma eqvationer (37) erhålles efter 
elimination af wv. TIakttager man nu att den andra af eqvationerna (37) satisfieras 
identiskt af 
Ole Ut, u), 
så följer åter häraf att gränsen U (up, u) icke är annat än ett värde på v som efter 
elimination af t ur eqvationerne (37) erhålles, d. ä. ett värde på v ur eqvationen 
VA Ur änn PT (GT EE ERE SR (RA fer AR SEI (38). 
Vi erhålla följaktligen följande allmänna sats: 
Genom insättning i dubbelintegralen 
ge tee) 
fax fi F(x, y)dy 
p — £2) 
af tvenne nya variabler u och v, förbundna med &x och y genom eqvationerna 
z=U(v, u)l 
ÄG UR (39) 
erhalles 
q Fl) OA EI TT 0 VD) 
få [Fe Wåy=/ | du [P(U(v, 0 VAD, UD) Ak bossen (40); 
D £(z) t=p 9=f V vr 
der 
yv är en godtycklig konstant, 
u, ett värde på u, som härledes efter elimination af v mellan eqvationerna 
UV EAU 20); 
P Å o - de SMG . 
vi ett värde på v, som ur samma eqvationer härledes efter elimination aft, 
u 
d. v. 8. ett värde på v ur eqvationen 
pl(Ulv, u))=V(v, ud; 
7 
4-0 vv. 
Af de 4 integralerna i högra membrum af (40) bortfaller föröfrigt en, genom att åt y 
gifva något af de 4 värdena på wu. 
För användbarheten af denna sats förutsättas likväl i afseende på funktionerna 
U och V samt Fx) och flår) vissa vilkor, som af det föregående utan svårighet här- 
ledas; äfvensom en närmare bestämning af gränserna u; och vi, samt Ut, u). 
Således fordras: 
1:o) att U ej är funktion af V. Detta vilkor är uppfylldt när determinanten Å 
icke är identiskt =o. Föröfrigt bör ej U vara oberoende af v (tillfölje af (32)). 
Med afseende på substitutionen (30) erfordrades, att en funktion 97(y, xz) kunde 
finnas, som vore kontinuerlig och ej hade maxima eller minima mellan y=Ff(x) och 
y= Flex). Då enligt (36) man har identiskt 
O-(V(v, u), Ulv, u)=u, 
