18 H. HOLMGREN, 
roende af endera eller begge af q& och t. Man erhölle naturligtvis på detta sätt ett till 
formen alldeles lika teorem med det, som innehålles i formeln (40) med åtföljande vil- 
kor, men i hvilket U och V samt gränserna kunde, alla eller några bland dem, på annat 
sätt förändras från den ena till den andra af de särskilda integralerna, än fallet är en- 
ligt formeln (40). | 
Enskilda fall. 
1. Om något af gränsvärdena u; och u; är lika med något af värdena wu, och ur, 
så kan integralernas antal i högra membrum af (40) reduceras till 2, eftersom 2:ne in- 
tegraler försvinna om man åt y ger detta värde. Genom ett ytterligare vilkor i afse- 
SG 1 NG ; 
ende på v, och U (t, u) kunna dessa tvenne integraler reduceras till en enda. 
2. Om vi =v., så reduceras högra membrum i (40) till 
bål Oo 
tg ur us G u) 
/ fån JET, V). Ado 
v 
u 
t=p 2, 
; 
och, om tillika u; = u, eller u; =u,, återstår blott en enda integral. 
3. Likaledes erhålles 2:ne integraler om något af de två värdena på v”? är lika 
med något af de begge värdena på U'(t, u); och om man sedan väljer ett lämpligt värde 
för y, så återstår blott en integral. 
Den första framställning af en allmän metod för bestämmandet af det antal inte- 
graler, i hvilka en dubbelintegral sönderfaller, då man deruti inför nya variabler, jemte 
bestämning af dessas gränser, är, så vidt oss är bekant, gifven år 1846 af A. F. SvAN- 
BERG i en afhandling med titel: ”Observations sur la transformation des intégrales mul- 
tiples”, införd i Vol. XIII af Nova Acta Reg. Societatis Scientiarum Upsaliensis. Pro- 
blemet om insättning af nya variabler i dubbelintegraler med konstanta gränser är der 
fullständigt löst. Det allmännare resultat, som innehålles i formeln (40) af närvarande 
afhandling är först framstäldt af Herr WInCELER, som i sitt förut anförda arbete (sidd. 
3—40) genomfört beviset för nämnde formel. Vår framställning af ämnet erfordrar in- 
gen särskild undersökning af tecknet för 4, gränsvärdena m. m., hvarföre beviset kunnat 
göras betydligt kortare. De i det föregående framställda vilkoren för formelns tillämp- 
ning medgifva för öfrigt en något vidsträcktare användning af densamma, än som synes 
följa af Hr WInNCELERS framställning. 
Vi uppskjuta till ett annat tillfälle att göra några tillämpningar af föregående 
formler och hänvisa för detta ändamål till nyssanförda afhandlingar och särdeles till den 
rikhaltiga samling af tillämpningar, som innehålles i Hr WINCKLERS arbete. 
3. Trefaldiga integraler. 
Föregående metod för insättning af nya variabler kan utan synnerlig svårighet 
utsträckas till trefaldiga och öfriga multipla integraler, fastän antalet integraler blifver 
starkt växande och formlerna följaktligen vidlyftiga. Vi utföra derföre substitutionen 
endast för trefaldiga integraler. Detta kan åter ske på flera olika sätt, af hvilka vi skola 
