OM MULTIPLA INTEGRALERS TRANSFORMATION. 20 
Enligt vilkoren för formeln (2) erfordras för giltigheten af denna eqvation, att 
man har identiskt | 
Filfi (u)) = 
mellan gränserna u = /i(a) och u=>+£. Detta vilkor är uppfyldt när fi (u) är en kon- 
tinuerlig funktion som ej har maxima eller minima, eller med andra ord är kontinuerligt 
växande eller aftagande mellan gränserna u =/fi(a) och u=72. Samma vilkor kan ock 
så uttryckas, att 0 skall vara en antingen kontinuerligt växande eller ock kontinuer- 
ligt aftagande funktion mellan gränserna y, =a och JA SR (2). 
Vid fortsatt användning af formeln (2) blir vidare 
Vän) F(0) 2 
får dz ER fö dyez SR fa dz, 
AN AMN) a az FlyD 
hvarvid som vilkor på samma sätt finnes att f.(y.) skall vara en antingen kontinuerligt 
växande eller ock kontinuerligt aftagande funktion af ys mellan ys; = a» och ys: = /f2 (w). 
På samma sätt erhåller man ett dylikt vilkor för fs(ys) mellan gränserna ys = as 
och ys =/f3 "(x) 0. s. v., så att det allmänna vilkoret för användbarheten af formeln (78) 
blir att funktionen 
fy) = f (yi, Y2-.- Yi; Li+17 LVit2- (kJ) 
skall, för hvarje värde på i från i=1 till i=n, vara en med variabeln y; antingen kon- 
tinuerligt växande eller ock kontinuerligt aftagande funktion mellan gränserna y;= a; 
och y;=fi; (2). Detta förhållande kan föröfrigt vexla med olika värden på ?. 
Man kan i afseende på ranb scannar för de begge multipelintegralerna i 
(78) och (79) gifva en annan form åt det teorem som i dessa formler innehålles. 
Clirscina för integrationen efter y; 1 venstra membrum af (78) fordra nämligen 
att åt Yi gifves alla Värden mellan a; och f; («), hvilket enligt den förutsättning som är 
gjord i afseende på funktionen f:(y) är detsamma, som att åt y; gifva den Kontinner 
liga följd af värden från y;=a;, hvarigenom fi(y) faller mellan gränserna f;(a;) och 
fi(fi (2))=2, d. v. s. som 
då x =/f£;(a) uppfyller vilkoret 
x =f:(y) (0) 
z=filyd =Jila). 
Af dessa begge gränsvilkor följer, att då 
z =f.(a), 
så måste också för de värden på y;, som få begagnas, 
z=f:(y), eller på sin höjd z = /fi(y). 
Men nu är till följe af (76), som innehåller definitionen på f:(y), 
f:(Y) = fir (A+) 
hvaraf således följer, att om 
2 =f.(a), eller på sin höjd x=/fi;(a), 
så är jemväl för alla värden på y;, som vid integrationen få användas, 
zZfiulamn), eller på sin höjd x= fi, (a+1)- 
och då x =/f;(a) vilkoret 
