30 H. HOLMGREN, 
Genom upprepad användning af denna slutledning från 1=1 följer, att alltefter 
som 7 = ale), 
så är ock i allmänhet 
x=f;(a) eller på sin höjd x = /f:(a), 
för alla värden på yi, y2...y-a som vid integrationerna komma till användning. 
Till följe häraf blifva gränsvilkoren för multipel-integralen i venstra membrum 
af (78): | 
1:0) då x> fila), 
för y,: 2 =f.(y) =. (a) 
för ya: 2= (Yr) = RE (CER ERRIN AS ocg (80). 
Föra ELER 
Är således fly) =F0Yr> Y2 Yi Air A) eM kontinuerligt växande funktion af y; 
från y; = a;, så blifva för öfrigt värdena på y;>a;; är åter f:;(y) kontinuerligt aftagande, 
så blir y;:=a;. Som nu vidare f.(a) = f.al(y..1) och i allmänhet fi;(a) = fiil(y:1), Så 
inses lätt att föregående gränsvilkor (80) innefattas i det enda, att integrationen ut- 
sträckes till alla systemer af värden på de variabla y:, y2...y., som uppfylla vilkoret 
z=f.(y) =5(0), 
ds 2 Ej Vy Vr BN Ir) 
och tillika äro sådana, att 
y.=a,; när fly, Y2..Y,n Ar. OA) är en kontinuerligt växande funktion af y;; 
men y;=a; för de värden på i, som göra fly, Y2...Y:, U...An) till en kontinuerligt af- 
tagande funktion af y;. 
2:0) då v<fi(a) 
erhålles på samma sätt gränsbestämningen 
i 29 == Ok PVE Ch Mr kN 
med vilkor att 
y.=a, när fl(Yyi, Y2...Yi Ar. AO) är en kontinuerligt växande funktion af y;; 
men y;=a; när fly, Y2...Y, An. AO) är en kontinuerligt aftagande funktion af y;; hvilket 
förhållande kan vexla med värdena på ti. 
I afseende på den n—1-faldiga integralen w(e), definierad genom (79), äro 
gränsvilkoren påtagligen fullkomligt analoga, då man utbyter f.(y.) mot fl(Y,r) 
= f (Yi, Ye. Ynar, An) Och Xx mot z2. + 
Om vi då för korthets skull med beteckningen 
x>Ply, Yr... Ym)>4, y>e (eller ock y;< w;) 
efter en m-faldig integral afse en sådan gränsbestämning för densamma, att integratio- 
nen skall utsträckas till alla systemer af värden på de variabla som uppfylla vilkoret 
= 90, Ya. Ya) =4, 
y. =, (eller ock y;=,), 
så erhålla vi i stället för formlerna (78) och (79) följande teorem: 
och tillika det att 
