OM MULTIPLA INTEGRALERS TRANSFORMATION. 31 
Teorem 1. 
Om 
Fly) = Fyr Yo Ynas YD 
är i afseende på hvar och en af de variabla en kontinuerlig funktion, som ej har ma- 
xima eller minima mellan de för integrationerna föreskrifna gränserna, så är 
= | (fy), us Yey) LD dy, dy. dys = + er NG (81), 
Fa,» a2...An) 
der w(z) = [| SEG Day Varva Yr) Ca UNG 00 CNN rrsassesirnor FRE UA a (82), 
med följande gränsbestämningar: : 
i afseende på I: 65 =) Qs Parry HEN (MA Carsten CN 
och i afseende på w(e): z=f(Yi, Y2...Yrr, A) FA, A2..Orar Aj 
samt den för begge integralerna gemensamma bestämningen att 
y.=0a; då flyr, Y2..Y» Dr... AO) är en kontin. växande funktion af y;; 
och y:=a; då flyr, Y2... Ya Lr. AO) är en kontin. aftagande funktion af y;; 
i hvilka gränsvilkor de öfre olikhetstecknen gälla när x>f(a, d2...a,), men de undre 
när T</fla, a... a 
Anm. Det dubbla tecknet i högra membrum af (81) antyder, att en sådan gräns- 
bestämning som den ifrågavarande lemnar detta i allmänhet obestämdt, enär den ej gör 
någon bestämd åtskillnad mellan f "och f. Denna obestämdhet finnes naturligtvis ej 
Hiocneln (09). : a 
Af detta teorem följer omedelbart följande något allmännare: 
Teorem 2. 
Om xx och 4 äro tvenne reella qvantiteter, hvilka begge äro antingen större eller 
ock mindre än (inclusive: lika med) f(a, az...a,), och x>4, så är, under samma förut- 
sättning i afseende på f.(y.) = fly, y2...y) som i Teorem 1, 
VR = [| EG (YD, Yr Ya Yi) EA, dyr dy... dy, = + fule Sa (83), 
2 
der y(2) ff fre Mio, Uvs =) Cl Ck öron Öl Von N Ras ESNNNSNE (84), 
med följande gränsbestämningar: 
i afseende på IL: z>=—flYyr, Yo YJd ÅA, 
och i afseende på wy(e): zZ=flyr, Y2...Ymr, A,) Za, Ar... 0); 
samt den för begge integralernas variabler gemensamma bestämningen att man tager - 
y.=a; då flyr, Y2...Y, Ar. AO) är en kontin. växande funktion af y.; 
men y.=a; då fly, Y....Y, Ar. O,) är en kontin. aftagande funktion af y;; 
hvarest de öfre olikhetstecknen gälla då x och 4 äro begge >/f(a, a... a.), men de undre 
när x och 4 äro begge < f(a,, az... a). 
