36 H. HOLMGREN, 
hvilka ej finnas i högra membrum, d. v. s. att multipelintegralens i venstra membrum 
värde är helt och hållet oberoende af dessa funktioners värden, blott de alltid äro =0 
mellan gränserna. ; 
I enskilda fall reduceras dubbelintegralen i högra membrum af (99) och (101) till 
enklare former. Sådana äro bland andra följande: 
1. Sätter man i (99) 
A= 0, Y(S.> 5, S os) = er MED 
ZE 
och tillika antager, att 9, Ah, Ir..3,, äro funktioner endast af s,,, så kan integratio- 
nen efter y, i venstra membrum omedelbart utföras, äfvensom integrationen efter 2 i 
högra membrum, sedan man omvändt integrationsordningen enligt formeln (2), af hvil- 
ken i allmänhet följer 
; för Jö 0 = 0 fl f (CE Ft) dt. 
0 0 0 t 0 
Sätter man tillika n—1 =m, så erhålles på detta sätt 
Hy! IT TO) re 
JL = RES NA 0 
BESB: 0 DA OH Fn a) T0+9,-9" 
z>yFyettYyn>0, y:>0. 
Om man nu med 2 utmärker en positiv qvantitet <>, samt från föregående eqva- 
tion subtraherar det resultat som erhålles, då i densamma sättes 4 i stället för x, så 
erhåller man der något allmännare formeln 
Hy" Tro) ER 
JJ-J, annan SF Ya Ym) dyr dys. Ayn = — fd 
FQ, Fit: tin) HT (049, DK 
20 Ma al Yale nm LÖN St 0 fö ESA OR EE EINE BR RS IATA (102). 
I denna formel äro &, A+, I... 3, godtyckliga funktioner af 
har dar Sida 
blott 3>0 och de öfriga =0 mellan integrationsgränserna. För det fall att dessa funk- 
tioner äro positiva konstanter är formeln förut bekant. +) 
IFRY FIKK In Ym) ! 
Formeln (101) ger under samma förutsättningar på samma sätt 
HO TE) BYTT 5; TH T(,) å 
a IS SJS) dy, dys2... dy, = - EGR f(t) dt 
JS SL (0-4 TTR (+++) 
HESSE AL NU EE ÖNA = Öre år rn AN RA Se (103). 
2 I (99) sätta vi 
= I (8 Sa) = Inc Yar YWlSnzy Ska) = FOS) FE), 
samt | 
SS Sn-1 
I = pl S ) 2 TVR RER bb ad SEKT Or KAT (104) 
") SCHLÖMILCH: Analytische Studien II. s. 165. — Man skulle kunna anmärka, att det på detta ställe fram- 
ställda beviset kunnat omedelbart utsträckas till det ofvan framställda fallet. 
