4 H. HOLMGREN, 
Hvad ändtligen funktionen I beträffar, så begagna vi den efter L1IOUVILLES före- 
döme såsom en funktion definierad af eqvationen 
IC (EE) == (TE RLN) NS e f ER et bl AS SENARE Fare ARR (5) 
för såväl reella som imaginära värden på u. Detta leder till följande närmare bestämningar. 
För «>0 antages det ändliga och bestämda värdet 
KE (6) 
0 
Af denna eqvation följer för «=1, 8 =0 att F(1) =1, hvaraf enligt (5) 
ING UJ FE CI booserdesoboåssoes SE NERE oa HORA (CE 
och vidare af (5) 
inst EST 1) el: (00, ER LÄGE ASRSs a AA IDR os ARNES (8). 
För negativa värden på &«, hvilka icke äro af helt tals form, är enligt (5) 
T(a+Pi) alltid ändlig; och likaledes för hvilket « som helst när £=0. Dess värde 
kan i dessa fall alltid beräknas medelst eqvationerna (5) och (6). 
Anm. 1. För giltigheten af föregående definition fordras strängt taget inga 
vilkor, enär beteckningarne 
Dp" KH fä SD 
far ND 
To 
icke förut äro begagnade i Analysen. Men som de påtagligen böra afse ett samman- 
hang med den vanliga beteckningen af en funktions derivator, så är öfverensstämmelsen 
för det fall att u är ett positivt helt tal önskvärd. — Men för u=n (positivt helt tal) 
gifva eqvationerne (1)—(4) (t. ex. den sista), alldenstund här m=7n—++1 
DL. SD =D" [fode, 
T 
Är nu i fle)dz ändlig och bestämd, så är 
Lo 
D. [ide (0) 
och således 
Da (CO OR (a) TAK Sa Or RT SSA (9). 
Tr 
För det fall åter att fre är oändlig eller obestämd för en oändlig mängd olika 
värden på &x (z obestämdt), måste konstanten x, stå i någon viss relation till konstan- 
terna i f(z), d. ä. hafva ett mer eller mindre bestämdt specielt värde. Sådana fall 
kunna följaktligen i det följande icke hafva någon annan inskränkande betydelse för de 
allmänna relationer mellan bestämda integraler, som der komma att framställas, än den 
vanliga företeelsen, att i sådana formler vissa integraler för enskilda värden på i dem 
