OM DIFFERENTIALKALKYLEN. 21 
SM 
J 
Transformation af multipelintegralen 
DNR DR DE Eva (2). 2-0 o(2)] u 
i några enskilda fall. 
Föregående teori för derivator med allmänna indices leder i sammanhang med 
de satser jag i en föregående afhandling F) framställt till en mängd relationer, hvilka 
såväl i sig sjelfva som för deras användbarhet t. ex. vid integration af vissa klasser af 
lineära differentialeqvationer äro af icke ringa intresse. Sådana formler äro först af 
LIOUVILLE framställda i hans ”Calcul différentiel å indices quelconques” "X) i samman- 
hang med frågan om förändring af den oberoende variabeln. Man synes ej hittills 
hafva vid dessa formler fästat all den uppmärksamhet de förtjena, hvilket sannolikt 
berott deraf, att LrIoUVILLES grundläggning af den nämnde kalkylen i sjelfva verket är 
något sväfvande och osäker. Jag tror att man, genom att antaga den bestämdare 
betydelse jag föreslagit för uttrycket DE f(x), skall kunna vinna all nödig säkerhet vid 
tillämpningen, hvilket jag skall söka visa, då jag nu går att ånyo härleda och med 
nya tillöka de af LiIouvILLE framställda formlerna. 
Den sats, på hvilken de följande tillämpningarne hufvudsakligen grunda sig, 
utgör ett enskildt fall af Teorem II i den ofvannämnda afhandlingen ") och kan så- 
lunda framställas: 
Teorem. när man dt funktionen F i den multipla integralen 
2 NN i, | $00 Yr II Er BO) EY) (der y, =) 
ger den speciella formen 
HETER som icke är af formen pF,(e), 
hvarest p är en ar rbiträr konstant, man finner att I. later reducera sig till 
0 = MB, äng 10) 
såväl när man tager 
; n=n, P=PÅE> Yp YärYy yr PB NE 
som när man sätter 
== My Pr Pn Ar JD Yger Yo La äg 
der de begge funktionerna &, och fp, äro oberoende af p, så kan man sluta att likheten 
Ji—1 i=m pJi—1 
[ET fås | öser ur darrar 2 EJ = [TE få [Pol Isar 2 EG) 
z) 20 
eger rum då funktionen F och konstanten r äro arbiträra. 
') Om multipla integralers transformation af HJ. HoLMGREN. K. Vet. Akad. Handl. B. 5, n:o 6. 
”) Afhandlingar i Journal de Y'Ecole polytechnique och OCrelles Journal. 
