*-'*fl= 



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Bnlletiii de ritcadoinie Inipc^riale 



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de la precedente on obtient {z 



i 



2 



)(lx 



3C(l{3 



= 



ou bien 



d{z — z{) 



z 



I 



&3i 



X 



ce qui donne I'integrale; on 



xlogx. Mais tout 



pent par exemple prendre z^ - 



cola n'est pas necessaire pour une equation qui s'in- 



tegre a la premiere vue. 



Quant au defaut de nouveaute de raes integrations, 

 je laisse au lecteur de mon memoire le soin de juger, 

 sMl est possible de resoudre I'ensemble de mes pro- 

 blemes par une quelconque de ces methodes connues, 

 qui sont si restreintes et conduisent a taut de taton- 

 nements infructueux. Pourtant il me sera permis de 

 citer le probleme propose par Euler dans le § 497 

 des institutions de calcul integral , qui consiste a 



reudie iutegrable I'expression TifAx 



y)u 



n-\ 



dij 



aumoven d'un diviseur^/' 



My 



h\ P,Q,3I,N^tar\i 



des fonctions de x qu'il s'agit do determiner. Appli- 

 quant a la condition de Tintegrabilite sa metliode des 

 coefficiens indetermines, p]uler se trouve arrete par 

 un systeme complique d'equations differentielles; voici 

 comment il continue: Verum si hinc vellemus V cli- 

 dere, in aequationem differentio-differentialeni dela- 

 bereniur. Casus tameii quo w -■= 2 expediri potest. 

 (Inst. calc. int. t. 1. p. 355 de I'edition de 17G8.) 

 Depuis ce temps rien n'a ^te ajoute a la solution 

 d'EuIer; ainsi le probleme a subsists h pen pres pen- 

 dant un siecle sans Hre resolu, excepts le cas w = 2. 

 Ce fut done uu fait important et qui augincntait la 

 confiance que je mettais dans mes precedes, que je 

 r^ussis aisement a en parvenir a bout, quelque fut 

 le nombre entier et positif w; ce qu'on trouve expose 

 dans le numero 8 de mon memoire (p. 24 ct suiv.) 





sait le facteur integrant. Aprcs avoir d()nn6 uiii>courte 

 note sur cct objct dans le Bulletin de 1845, jele 

 quittais pour n'y rcvenir qu'on 1858, ou voyant par 

 occnsion combicn cctte matifere etait g^n^ralement 



■ 



negligee, je me decidai h en fairc Tobjet d'un travail 

 systematique, qui a paru en 18C0. 



Ce travail a abouti a fixer uue certaine classe d'e- 

 quations differentiolles, dont on pent former le fac- 

 teur integrant a I'aidc de ccrtaincs solutions particu- 

 lieres qu'il fuut d'abord decouvrir. Mais jo ne peiix 

 que rcnvoyer le lecteur au numero 9 de mon me- 

 moire, p. 29, ou Ton trouve cxpliquf'c h forme la 

 plus g^neralc du fiicteur integrant qui appartiint a 



la classe d'equations dont il s*ngit ct le tlicorcmc qui 

 serf de base a mon procede d'intdgrajion. T/avan- 

 tage du tli6orome cousistc a dec61cr certains eiemens 

 du facteur integrant, si d'ailleurs cc fiictcur admet 

 rcellement la forme supposoe. Ainsi le procedc est 

 tres restrcint vis -i- vis du probleme general d'iute- 



gration, mais compart aux moyens connus jusqu'ici 

 il mc parait etre d'unc 6tcnduc bien grandc. 



Quant a rarraugeuient dc mon memoire, j'avais 

 d'abord congu le plan dc commcncer par le tbeoreme 

 general, pour en descendre cnsuite aux applications 

 pariiculieres. Cepcndant ce plan semblait faire de- 

 pcndre les cas ks plus siraplr;^ ct qui <>(Tiaieut des 

 facilites parliculiercb, d'une nu'orie qui n'etait ne- 

 cessaire que pour des cas plus compliqu^s. Ce mo- 

 tif m'a dotcrniinfi h pr^fi'nT uue marche asccndante 

 du simple au compose. En renvcrsaut I'ordre j'au- 

 rais certainement pr6v6im une critique qui revient a 

 peu pros a dire que tout mon travail ne roulc que sur 



oLX-t-p, puisque dans le premier 



La troiseme remarque de Mr. Tauteur m'engage a la substitution y 



m'expliquer un peu sur I'origine de mes idees, ce qui numero j'ai montre le pnrti qu'on pout tirer des inte- 



peut ^tre utile pour gagner quelque lecteur a les gralcs particulieres de cette forme pour rinl^gratioD 



suivre. Ce fut surtout I'etude du second cliapitre de d'une equation tres ^mple et tres connue, mais qu'on 



la 2"" section des institutions d'Eulcr, inscrit: de in- a toujonrs traite d'une manierc a mon avis moins di- 



tegratione aequationum ope multiplicatorum , dans rccte. Je ne pcux passer sous silence une obscrva- 



lequel je cberchafs quelque chose de plus que ne don- tion toute sp6cialo conccrnant la manicre d'aprcs la- 



nent les trait^s sur cette matiere 6videmment peu quelle Mr. I'auteur pr6scnte dans le numero 48 de son 



cultiv^e. J'y trouvais nombre U'exemples curieux, ouvrage, p. 117, mon proc6d6 dintegration de ladite 



obtenus par un calcul habilemeut conduit; mais je 

 n'y trouvais nulle part expliqu6 la cause du succes 

 que je desirais surtout a connaitre. Je parvins enfin 



Equation differentielie, dans laquelle on a 



M 



ax 



c,N 



ax 



h'y 



-4 



c , Md.r-^Ndy 



0. 



a la decouvrir dans certaines solutions particulieres j ^^"' ^^ ^^"^^ ^^ I'exposition on trouve dit sans au- 

 des Equations propos^es, dont evidemment se compo- cune demonstration, que le quotient ^ est constant; 



