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des Sciences de Slaiiit • P^f ersbour j(. 



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pour transformer x^y^z en X 



Or ces Equations 



^videmment la forme (1) par rapport 



(^,y 



.2 



denominateurs. Les formules 



(7) donneront done 



X 



2 



1)2 c2 



(X 



&2) [^ 



11) (bt - v2) 



&2(c' 



-2 



2 



(X 



c2) (e 



H2) (c' 



V2) 



C2(C 



2 



62) 



En general 



La propri6t6 (6) du determinant A facilite le cal- 



cul d'autres grandeurs qui se rapportcnt aux coofr 

 donn^es elliptiques, telles que les perpondirnlairos 

 abaiss^es du centre sur les plans tangents anx sur- 

 faces homofocales en un point dounc^ et Vs j)nram^tres 



differentiels du premier ordrc. 



Pour obtenir ces grandeurs on a bcsoin d'avnir 



I'expression de 



P 



m 



a 



P 







m 



^n 



e 



m 



propose d'exprimer n va- Consid^rons en premier lieu 



riables 



n 



fonction de n autres: y,, y. 



y , ces variables etant liees par les equations 



X 



X 



Vi — H 



2 



3C 



Vi — H 



n 



2/i 



ot 



1 



n 



Pi 



a 



1 



9 







* • • 



c 



I 



(11). 



Posant dans (10) m = 1 et r = 2, 3,. . .n, on d6duit 



les Equations: 



X 



1 



x^ 



2 



X 



2/2-°'i 



Vz 



n 



y% 



a 



1 



n 











a,o, 

 o 





f ^ 



• • • 







X 



1 



tX/i 



a: 



2/n 



a 



1 



Vn—H 



n 



9 9 



Vn 



a 



I 



n 



on trouvera 



X 



1 



(2/1 — "i) (2/2 — «i) • ••(yn— «l) 



(«: 



ai)(a 



3 



X 



2 



as) • • • (^n 



2 



(yi - «2) (2/2 - ttj) ' • • JMn — =^2) 



(a I — ttj) (ag — a^) . . . (a„ — dij) 







a 

 a. a 



^ 



r*w 



6j6„ 







i^'n 



Multipliaut ces Equations respecti 



A 



A 



joutant les produits ^ I'equation (II) multipl 



par 



X 



2 



n 



(j/i - «n) iy-> -^n)-' iVn - ''n) 



(a„-ai)(a„-a8)...(a„ 



7) 



c 



moyen de ces formules que M. Catalan est 

 parvenu k 6tendre a une integrale multiple d'ordre 

 quelconque la transformation connue d'une integrale 

 triple, dans laquelle il faudrait substituer des coor- 

 donnees elliptiques aux coordonn^es rectilignes. 



Prenant dans le systeme (i) les equations des rangs 

 metr, faisant la soustraction et divisant le r§sultat 

 par le facteur commun qui s'y trouvera en vertu des 

 conditions (3), on aura I'equation 



0.. (iO), 



A. ,p 



I 



Oi 



A 



de 



\.tPi 





^ r.P 



I 



7^ 



d 



par 



A 



1.2 



a 



1 





I 





A 



A; 



P 



A 



ajnOr 



? 



&w&r 



Y 







A 



»,i 



Ai, 



i'2 



..A 



(12) 



i,n 



c«,c 



m^r 



^m^r 



de 



conditions de I'orthogonalit 



Or appliquant la formule (6) 



determinant A pri- 



des coordonnees elliptiques 



X 



* 



X2tJ.2 



X 



X2v2 



X 



[iH^ 











forme 



A 







2_ 1 



Oi' o. 



1 



• » 



a 



ft 



1 



& 



f> 



1 



1 



1 



8 



I 



? 



S 



2 



f 



/ 



