359 



Bulletin 



Acad^mie Imiid 



1st der Neigungswinkel 9;^ zwischen dem Schenkel 

 Ox und der Wellenebene ftir irgend eine Lage xOy 

 des Universalgelenks gegeben, und man will aus der 



Formel 

 Werth 



den zu diesem Zeitpunkt stattfindenden 



y 



finden , so bestimmt man zunachst 



der Gleichung (1) den Neigungswinkel <^*y des Schen 

 kels Oy zur "Wellenebene, worauf sich die B 



und it" 

 rischeu 



Hulfe der bekannten Formeln der spha 



o 



tg 



tt' - ft'" 



2 



Sin 



?*^ 



9*. 



i 



tg»a 



2 



mt 



Sin 



ry 



'P^x 



2 



und 



tg 



tt' ■+- t't 



'till 



cos 



2 



tg^a. 



2 



cos 



9*1/ -*- y^a; 



2 



berechnen lassen. 



Wir wenden uus endlich zur Polhodie TTT"T 



Iff 



• fl • » • 



welche auf der Kugeloberflache die Coutur der Basis 

 des rollenden Kegels bildet. Da diese Curve mit dem 

 Quadranten xU/O und seinem Pole / fest verbunden' 

 und bei alien seineu Bewegimgen betheiligt ist, so 

 kann man, um den Ort eiues Punktes T auf der Pol- 

 hodie zu bestimmen, zwei folgende spharische Polar- 

 coordinaten einfuhren: die Grosse 0' des vom Puncte 

 T nach dem Pole / gezogenen Bogens TV des gros- 

 sten Kreises und den Neigungswinkel 6^ zwischen 

 dem Strahle p* und einem anderen beliebig gewahlten 

 Anfangsstrahle ; zu diesem Anfangsstrahle wollen wir 

 im Folgenden den Strahl z^T der Polhodie wahlen, 

 welcher auf der Peripherie des beweglichen Kreises 

 yz^O liegt und bei der anfanglichen Lage xOy des 

 Quadranten mit dem Bogen U"' = a zusammentiel. Es 

 Jiegen uns nun zwei Aufgaben vor: erstens, bei irgend 

 einer Lage x^y*z*0 des Universalgelenks den Winkel 

 6 fur denjenigen Punkt T* der Polhodie zu finden, 

 welcher zu dieser Zeit der Beriihrungspunkt der Pol- 

 hodie und der Herpolhodie ist, und zweitens, die 

 Gleichung der Polhodie in den Coordinaten p* und O' 

 auszudrucken, um die Figur dieser Curve niiher zu 

 untersuchen. Die beiden Fragen lassen sich auflosen, 

 wenn man folgende Umstiinde berticksichtigt: 



a) dass fur jede beliebige Lage xyzO des bewegli- 

 chen Systems der Anfangsstralil der Polhodie auf je- 

 den Fall durch den im Raume festen Pol t des Bahn- 

 kreises xxx" hindurchgeht, wahrend der Pol f 



360 



des Bahnkreises yyy .... immer auf dem Strahle der 

 Polhodie bleibt, welcher zum Anfangsstrahle senkreclit 

 ist und also eineu Theil der Peripherie des bewet^li. 

 chen Kreises xOz macht, und 



4 



h) dass im spharischen Vierecke 



f'r 



J 



dessen Gipfei 



t' der gegenwartige Beriihrungspunkt der Polhodie mit 

 der Herpolhodie ist, man nicht nur bei /, sondern aueh 

 bei t und t' rechte spharische Winkel: tV und/fY 

 hat. 



Man bekommt nun aus den Dreiecken ztt' und 



/A'; 



/ / 



smtzt 



sin tf 

 sin (V 



und 



./ ff>. 

 smtz t 



sip t't!" 

 sin fz' ' 



und durch Division 



tg t'zt 



si a tt' 

 sin f f '" ' 



Oder auch: 



tg^' 



sin 9 



M. 



sinv'jc 



und im Allgemeinen 



& 



igO* 



t 



St" 9'y 

 sin cp'-c 



Dies ist eben die Formel, welche den Punkt T der 

 Polhodie bestimmt , wo diese Curve fur eine Lage 

 (9* , 9* ) des Quadranten die Herpolhodie beriiM 

 Wenn z. B. die Schenkel des Quadranten zur Wellen- 

 ebene gleich geneigt sind, auf welch en Fall sich die 

 in der Tafel gezeichnete Projection der Polhodie be- 



zieht. so ist tg 



1 und hiemit befindet sich 



gegenwartige Beriihrungspunkt der Polhodie r 

 Herpolhodie im Punkte T", dessen Strahl TVn 

 Anfangsstrahle einen spharischen Winkel Tz T 

 bildet. 







Aus den spharischen Dreiecken ztt' und 

 ch weiter die Formel: 



[ism{2tz't)]\is*{t'z')-^ 



I., Ill 



lasst 



2 / / ' 



tg' {t'z) 



tg'a 



ableiten, welche man auch so schreiben kann: 



1 



4 



sin 20y . tg'p 



tg^? 



2 



tga 



) 



f 



und dies ist die gesuchte Gleichung der Polhodie id 

 spharischen Polarcoordinaten .p und 0. Diese Curve 

 wie es sich nun aus der Gleichung (8) ergiebt 



m 

 I ) 



ist ID 



yrrir 



frirf 



Bezug auf die vier Bogen TT^, jT'T*,, T T 



symmetrisch geordnet, welche die Oberflache der «' 

 gel um den Punct / hcrum in acht einander gleic « 



spharische Winkel zu je 45° theilen; die 



Punkte I 



T, und r', T, 



/;/ 



welche den Peripherien der beweg 



I 



r h 



1 



r 



