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Balletin de riticad^ifiie Imp^riale 



4 



est depourvue de periodicite. Mais c'est ce dont on 

 ne peut s'assurer aussi loin que soit prolonge le deve- 



I a la forme 



loppement de V? 



(LX 



3 



^x 



3 



Yd? 



3, vu que le 



nombre de termes dans une periode reste arbitraire. 

 De m^me onnepeuttirer, par rapport a cette question, 

 aucun parti de la consideration de certaines integrales 

 d^finies, d'apres lesquelles on peut assign er analyti- 

 queraent tous les cas des differentielles de la forme 



B 



Vz^^-lz^ 



dz 



mz 



nz 



ovL /, m, n sont des nombre? entiers, ce qu'on peut 

 toujours faire par la substitution lineaire jo 



x-^A 



V^ 



dx 



OLX 



3 



^X 



yaj-t-d 



si la fonction x^ 



OLX 



3 



V 



b 



^x 



"^X 



S a un facteur 



rationnel du premier degre. Dans le cas contraire on 

 reduira prealableraent I'integrale 





A 



OLX 



3 



dx 



px 



yx-i-S 



♦ 





qui s'integrent en termes finis; car, pour reconnaitre 

 par la que la differentielle donnee, pour toutes les 



4 



valeurs de .4, n'adraet pas une telle integration, il est 

 indispensable d'avoir les valeurs exactes de ces inte- 

 grales, tandis qu'elles nepeuventetre evaluees, d'apres 

 les coefficients a, p, y, S, qu'avec une approximation 

 plus ou moins grande. 



Pour la solution complete des questions importantes 

 que nous venons de mentionner, on doit trouver nn 

 precede qui, d'apres les coefficients a, ^, y, 8 et a 

 Faide d'une serie d'operations algebriques en nombre 

 limite, conduirait a reconnaitre que par le cboix con- 

 venable^ de A il est possible ou non de rendre I'integrale ^ 



~ en posant 



IB 



a 



{aP-f-jY 



y^ 



ax 



3 



pr 



yx-hS 



X 



I 



OiX 



4p 



a 



8 



d'apres quoi, en faisant 



3a4-+-l6a2p — 1 6a Y — 1 6p2 _,_ 64^ 



2a3 — 8ap -I- 16y 



a 



7 



4°^ 



6 



J 



8^ 



1 



2 



a^ 



T 



c 



J 



on obtiendra 



x-^A 



x~k-A 



ax 



Px 



dx 



YXH-d 



-^-ax^-^^x^-^yx-^S 



dx 



1 



2JY^ 



z-i-2^ — ^a 



6^2 



dz 



1 



-^az 



cz 



ol«g S, 



2 



ou la nouvelle integrale contient sous le signe du ra- 

 dical un polynome done du facteur rationnel z. 



On examinera si la fonction 



exprimable en termes finis. C'est ce que nous avons 

 cherch^ k faire pour le'cas de a, p, -y, S rationnels, 

 et, pour ce cas, nous avons trouve une methode qui, 



au moyen des operations algebriques et en nombre j est decomposable en deux facteurs rationnels du se- 

 hmite, conduit ou a trouver Texpression de Finte- 



Iz 



mz^ 



grale 



A 



I 



> x*-t-ax"-Hpx''-+-YX-|-$ 



dx 



> 



ec une certaine valeur de ^ , ou a reconnaitre que 

 ur aurune valeur de A cette integrale n'est possible 

 termes finis. 



Cette methode d'integration de la diff"erentielle 



x-*-A 



Vx* 



a.x 



3 



Po; 



dx 



yx-t-S 



J 



cond degre 



2 



pz){z 



2 



rz 



dont les coefficients p, r, s verifient I'equation 



(1) 



s{p 



2 



pr 



nombre carre^ 



de ces deux ineg 



(2) 



pr 



2s 



0, ou 4.S 



r 



2 







ou 



a, ^, Y, 5 



Dans le cas ou il est possible de decomposer la fonc 



tion Z -+- Iz" ~i- mz^ -t- nz en dpilY ft) rt Pure ^-''' _!_«-> 



(5 



Iz 



mz 



deux 



2 



rz 



m 



sont rationnels, consiste en ce qui suit 



1) On reduira I'integrale 



red 



conditions, et a 



P=), 



& 





ms^-Hnz 



dz 



? 



ar-H A 



ax-^~f-px 



dx 



yx-^8 



en posant 





Z 



V 



t 



