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des Sciences de Saint • P^tersbonrg* 



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ce qui donne 





z-t-B 



/r4_^./^3_,_„l^2 



dz 



nz 



2J V~ 



'lMr-p)'i2B-p) 



yj,[zj-+-(p— r)2J[{2j-i-p2— />r)2-H4sZi] 



dz 



i 



1 



2 



log 



Vz.-i-iP-r) 



La nouvelle integrale 



Vz^-Vz,-^(jp-r) 



'i-^-{r-p){2B-p] 



y^d'iMp-rniih 



dz 



Pr) 



4«J 



1 



J 



se reduira de la m^me raaniere, en tant que la fouction 



qui remplissent les conditions 



hip 



2 



XV/'X 



Plh 



^x^'x 



s 



nombre carre^ 



2sj^> 0, ou 4s;^ — r\> 0, 



et on traitera cette integrale par un proced6 que nous 

 allons exposer tout de suite. 



3) Ayant a integrer la diflferentielle 



z-^-B 



Vz* -H /j' -+-m**-t-nz 



dz, 



Z 



,h 



rf] [(^, 



P 



pr) 



i 



4szJ 



est decomposable en deux facteurs rationnels 



ou la fonction 



z 



* -I- /z^ -I- mz^ -+- nz 



f 



Pi^i) (^1 



2 



n'est pas decomposable en deux facteurs rationnels 



rz 



1 



qui remplissent les conditions 



^(P1 



2 



p^r 



i 



',) 



nombre carre 



2 \ / 2 



qui remplissent les conditions 



rz 



J 



i^/ 



I 



2^1 > 0, ou 4s^ 



r 



3 



I 



0, 



pr 



pr 



nombre carre 



2 



2s > 0, ou 4s — r>0,. 



f)^ netant pas 6gal a r^. Et ainsi de suite. — Si, dans | on calculera, d'apies les foi mules 

 ces reductions, on rencontre une integrale 



Zi^B^ 



Vzi'^-^hr.-^ 



ti 



nuz 



.T .2 



n 



n»z 



dz^, 



ft 



dans laquelle la fonction 



h 



i 



¥i 



3 



m.z.* 



n.z^ 



se decompose en deux facteurs 



^ 2 



Pi^-i) i^i 



9 



U^^i 



dont les coefficients p^ , r^ sont egaux, on trouvera im- 

 mediatement I'expression de cette integrale, d'apres la 

 formule 



'<-.. 



h 



(>i 



.2 



Ami) 



.\t 



2/i^-8/,-mf-f-16n/ 



(3) 



m 



i 



i 



2w, 



3.2 



n 



i 



I 



les nombres 







1 



".• 



1; 



8 < ' 



»», «„ 



n 



7 







/ 



I' 



/ 



2' 





1 



hPi 



ih-*-Pi^i) N^-^Pi^i-+-H) 



en prenant 



dz 





*< 



1 



2 Pi 



parvienne a I'integrale 



*x-^^x 



reductions jusqu 



en poussant le calcul jusqu'a ce que Ton rencontre 

 dans cette suite une valeur fractionnaire, ou que I'ou 

 trouve deux systemes de nombres 



>'=x*-^^x^x 



dans laquelle la fonction 



» -+- m^^z^ -I- nyzx 



. dz 



XJ 



V + v ^v 



UJ "tJL-+-U 



qui 



respectiveraent egaux. Dans le premier 



a que I'integrale 



%-^B 



/S3 



mz 



nz 



dz, 



z 



{ 



X 



'xA 



»»xA 



\h 



n'est plus decomposable en deux facteurs rationnel 

 du second degre 



s 



X 



^x=x) (A • • xn 



rz 



h) 



pour aucune valeur de B, n'est exprimable en termes 

 finis. Dans le second cas 11 sera certain que cette in- 

 tegrale, pour une certaine valeur de 5, est expri- 

 mable en termes finis, et son expression sera donnee 

 par cette formule : 



- 4= 



