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Bulletin de I'JLcad^inie Iniperiale 



S 



(4) 



If— ^ 



s 



mz 



nz 



2" 



Jz = log 



22 



2!^ 



y 



z 



v- 



f2H--+-i 2f^"^-2 



2^ 





^^"^;^1 



z 



[XH-2 



Z 



fJl-f-U 



OU 5,j «2, 2^3, 



ques de z qui se determinent ainsi: 



V _H u sont des fonctions algebri 



z 



• ; 3 



i^o^io 



2«0 



I 



Yz*~^-lff^-+■m^^^^ 



«o* 



«2 



O^02 



4ni 







/ 2* 



8 



z 



I I 3 17 m 



I 



n 



2>.| 



ou la fonction z* 



/z 



3 



mz 



2 



pas en deux facteurs (s^ 



pz) . (z 



nz lie se decompose 



H- 5) verifiant 



rz 



les conditions (1, 2), ne surpassera pas celui des solu- 



tions entieres des equations 



¥ 



2 



3XZ 



m 



2 



3 



Z\AX'Z 



1^r2 



rr 



3 



n' (4r« 



2 2 



/^W 



\%XYZ 



1 8/mn 



4F 



3 



-r ^72 



27Z') 



4 m 



s 



2 



2 7«') , 



(5). 



2 



yz^'^-^l^%^^-¥-myZ^-\-n^z^—z 



\,z ^"^^-'^'^ 



2 



i"i 



8 



qui ne peuvent etre qu'en nombre limite; en ef^et, 

 d'apres la derniere equation, le carre de I'inconnue Z 

 doit etre diviseur de 



2 



3 



z. 



I 



^Vi^—\^imi->-2ni 



y^i^-^lf^-^-mizi^-^niZi-Zfi- ll^zi- ^*^^' 



«^(4rn 



2 2 



rm 



ISImn -^- 4m 



H 



2 



27 n\ 



8 



et tant qu'on fixe la valeur de Z, les deux autres in- 

 connues se determinent completement par ces equa- 



Quant a la valeur de 5, elle sera dounee par cette 



tions. 



* 



f ormule : 



B 



(6) 



'7 



4 \ 



l>, 



22 '2 



1 



/ 



\ 



2f^-l >_1y 



Pour montrer sur des exemples I'usage de cette 

 methode, nous allons chercher, en premier lieu, I'in- 



tegrale 



1 2 



u 



1 



42 



u 



/ 



1 



I 



1 



1V2(^> 2f^-^i>-+-l 



« « « 



/ 



2f^-*-^— 1 [x-t-ij— 1 



Le nombre des operations qu'ori aura a faire par 

 cette methode d'integration sera toujours limite. Les 

 reductions a executer, d'apres le N- 2, sur I'integrale 



■^ y X* -^ x"^ -t- X -I- \ 



dx. 



Comme la fonction 



X 



i 



X 



X 



4 



1^- 



z-t-B 



Iz^ 



mz 



nz 



dz J 



n'a pas de facteur rationnel du premier degre, on re- 

 duira cette integrale, d'apres le N- 1, en posant 



I 



Iz 



de 



dans le cas ou la fonction z* 



compose en deux facteurs 



qui verifient les conditions (1) et (2), seront en nombre 1 ^^^ 



inferieur au plus petit exposant des facteurs premiers p ^ ' * 



■/a;* 



a;2-i-a;-*-i — a;2 — i 



z 



p 



De cette fagon on obtient 



x-t-A 



zzdx 



I 



1 /* ^-^^ 



2 7-1/ »4 O- 



Vz*—2z^—z 



dz 



|l0gz 



dont se composent les termes de la fraction 



En remarquant que la fonctioji 



pr — 2s 



V$ip 



2Vs{p^^pr~i-s) 



pr-i s) 



Z 



4 



2z 



2 



z 



reduite a sa forme la plus simple. Le nombre des 



systemes 



ne se decompose en deux facteurs rationnels du se- 



cond degre 



(z^ -I- pz){z''-+-rz -+-$), 



qu'en prenant 



P 



l,r 



hs 



qu'on aura a calculer, d'apres le N- 

 rintegrale 



en traitant 



que ces valeurs ne verifient pas la condition 



B 



Iz-^ -H mz^ -I- nz 



dz 



s{p 



2 



pr 



»)^ 



nombre carr4 



? 



on passera immediatement h. la recherche de l'int6- 

 gral e 



