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I 



Bulletin de r^cad^mie Imperiale 



OS 



nous trouverons evidemment 







/[( 



X 



du 

 dx 



dti 



^ dy 



du 



dz 



...) 



V 



X 



dv 

 dx 



y 



dv 



dy 



- Z 



dv 



dz 



u \dS, 



Si enfin on admet que u 



et V sont fonctions homo- 1 De la on passe de suite aux expressions que Ton 



genes, la premiere du degre n, la seconde du degre m, 

 comme par la nature de ces fonctions 



X 



X 



du 

 dx 



dv 



dx 



y 



y 



du 



dy 



dv 



dy 



z 



z 



du 

 dz 



dv 



nu 



• « 



mv 



v. 



la derniere equation se reduira h celle-ci 



>i — m)JiivdS 



done, n etant different de m, 



fuvdS = 0. 



C'est le tlieoreme dont I'enonce est venu a ma con- 

 naissance dans une correspondance privee. 



II serait curieux de savoir ce que deviendrait I'in- 



tegrale 



fuvdS 



dans le cas de n -.= m. Nous pourrons nous en occu- 

 per. Ayant rappele notre m^moire sur les variations 

 des int^gralcs multiples, nous saisissons cette occa- 

 sion pour y indiqucr une simplification dans la deter- 

 mination des variations des d^rivees partielles d'une 



fouction h. plusieurs variables. Soient x^ y, z ces 



variables et u leur fonction. Pour trouver les varia- 



.. ■, t > , du dti du ■^ r ' 



tioDs des denvees di» ^» 5^» • • • • > pe nous designe- 



rons pour abr^ger par/), g, r, . , . . , nous sommes parti 

 dans notre memoire de I'equation 



Uu 



d^u] 



y avons mis pour du sa valeur 



pdx 



qdy 



rdz 



,k 



et apres Tavoir differeutiee selon 8 nous avons trouve 



dxhp 



dhi 



-dy^ 

 pdhx 



dzhr 



qdhy 



• • 



rdbz 



La comparaison des coefficients des difi'crentielles 

 dxj dy, dz, nous a donne 



ddH 

 dx 



d$u 

 'dy 



ddx 



P 



dSx 



3^ 



f 



r 



ddz 

 dx 



d8z 

 dz 



• » 



donne ordinairement aux variations §/), hq, Sr, . . . Mais 

 on arrivera immediatement a cesdernieres expressions 

 en remplagant du et 8m a la fois dans 1' equation fon- 



damentale 



hdu 



dSw 



par leurs valeurs 



pdx-1 



> 



phx H 



qdy 



rdz 

 rZz 



• ) 



• « 



Q 



? 



(d etant le cliangement de w, dii a la variation de la 

 forme de cette fonction. En differentiant selon 3 et 

 d apres la substitution dont il s'agit, et en supprimant 

 ce qui se detruit, il vient 



dxhp 

 dphx 



dylq 



dqhy 



dz^r 

 dr^z 



• • 



c?o, 



d'OUj en comparant les coefficients de dx^ dy^ dz^ 



dp 



dx 



dx 



hx 



hx 



dp 

 d~y 



dq 



dy 



dz 



dq 



dz 



hz 



• m 



dx 



dti> 

 dy 



Nous avons apercu cette simplification immediate- 

 ment apres la publication de notre memoire , mais 

 nous ne I'avons pas jugee assez importante pour la 

 publier sans que I'occasion s'en presentat. 



liber das Beuzil, von IV. Ziiiin. (Lu le 16 no- 



vembre 18G0.) 



Es ist bekannt, dass das Benzoin sich unter dem 



Einflusse oxydirender Substanzen 



B. Chlor und 



Salpetersiiure) leicht in Benzil verwandelt, indem 



"Wasserstoff 



es 



dies eine reine Reactio 



welchenach der Gleicbung C,,IL„0„ 



*-* 14 12 2 



vor sich eelit. 



H 



2 



CuH A 



Ich habe nun gefunden, dass auch die Wiedererzeu- 

 gung des Benzoins aus dem Benzil sehr leicht vor sich 

 geht; auch dabei findet ein reine Reaction statt, es 

 bilden sich keine Nebenproducte und man erhalt eine 

 der angewendeten Menge Benzil nach obiger Glei- 

 chung entsprechende Menge Benzoin. 



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