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Bulletin de Titcad^inie Imperiale 



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Monge a le premier demontre, que si Ton peut iute- 

 grer un des deux systeraes 



Rdp 



{Rm 



S)dq 



dx 



mdx 

 Wdx 



ndy 



{S 



— Tn) dp 



Tdq 



en y ajoutant la condition dz 

 signant les racines des equations 



-my 



pJx -t 









 

 



(1) 



(2) 



qdy^ m et n de- 



Rm 



t 



Sm 



T 



Tn 



2 



Sn 



R 



et qu'on obtienne par rintegration M 



a 



) 



N 



6, oil 



M et N sont fonction de x, y, z, p, g, et a et 6 deux 

 constantes arbitraires, I'integrale premiere de I'equa- 

 tion donn^e sera: M=<fN, <p designant une fonction 

 arbitraire. 



Les deux systemes (1) et (2) sont de meme nature, 

 mais dans des cas particuliers il peut arriver que I'un 

 des deux systemes peut etre integre tandis que I'autre 

 ne peut pas I'Mre. 



Ainsi, pour savoir si I'equation donnee admet 

 une premiere integrate, il faudra s'assurer s'il existe 

 deux Equations primitives de la forme M 



a, N 



b 



qui verifient Tun des deux systemes (1) ou (2). Mais, 

 avant d'entreprendre cette recherche, on peut se poser 

 la question : s'il n'existe pas d'autres systemes, outre 

 les deux (1) et (2), dont I'integrale pourrait servir, 

 de m^me que (1) et (2), a donner I'integrale premiere 



de la forme 

 synthetiquei 



9iV. Car, Monge ayant demontre 

 qu'il existe une premiere integrate 



des deux systemes (1) ou (2) admet I'int^ 



& 



forme M 



a, iV 



6, on ne saurait, 



dans le cas contraire, conclure qu 

 cune de la forme 1/= 9iV, avant d'avoir trouve tons 

 les systemes qui determinent M et N. II est done ne- 

 cessaire de traiter la question analytiquement, afin de 

 trouver pour N et M tons les systemes possibles, et 

 puis de reconnaitre si parmi ces systemes il en existe 

 un qui soit integrable. 



3. Supposons que I'integrale premiere a une fonc- 



arbitraire existe , et qu'elle soit M 

 3u d'admetlre que M = aetN 



9iV. Mais 



6 satisfont 

 des systemes (1) ou (2), il faudra determiner 31 



de 



qu 



etombe 



9iV 



de 



fonction arbitraire © 



} 



proposee. De 



plus, admettous que les differentielles de M et N 



dM 



dN 



Adx 

 adx 



My 

 My- 



Cdz 



cdz 



Edp 



Fdq (3) 



edp 



fdq 



(4) 



Si, au lieu des differentielles totales de z, p et q sui- 

 vant X et y, on substitue 



dz 



pdx 



Q'^y, 



rdx 



sdy; 



sdx 



idy; 



on aura : 



dM 

 dN 



Er 



cp 



Fs) dx 

 fs) dx 



Es 



cq 



es 



-H Ft) dy 

 ^fi)dy 



et en differentiant M = cpiV d'abord suivant x et puis 

 suivant y, on aura les deux equations : 



Er 

 Es 



Fs) 



Ft) 



cp 

 cq 



er 



es 



fs) 9'JV), 

 ft) (p'iV). 



En posant pour plus de simplicite : 



A 



4 • 



a 



cp 



«,; fi 



B 



1 



etft 



cq 



b^ on aura : 



A 



1 



i 



Er 

 Es 



Fs 

 Fl 



er 



es 



fs) <p'iV 

 ft) 9'iV. 



En eliminant maintenant 9 iV de ces deux equations, 



on obtient: 





eB^r 

 a^F)t 



(b^F 



{fE- 



eF)st 



eA 



1 



a,E)s 



1 



{eF 



fE)s 



2 



...(5) 



0. 



En divisant cette equation par eE, supposant que 

 ni e ni £ ne sont nuls, on obtient (en denotant 



«i ^1 



61 B 



f 



J 



£ 



5 



J 



£' e 



et 



F 



par a, A', b[ B[ f et F') 



B')r-^[b'F'-fB^-^A'-a)s-^{fA!-aF') t 



F) st 



{F' 



f)s 



{b'A' 



a'B') 



.(6) 



doit etre, apres I'avoir divise par 6' — J?', ideu- 



donnee 



r 



s 



S 



T 

 R 



W 

 R 







II faut done qu'on ait, supposant que R n'est pas nul, 



b'F' - fB' 



A 



a 



b 



B 



R 



0) 



fA' - a 'F' 



b' 



b'A' 



B' 



a'B' 



b' 



B' 



T 



R 



W 



(8) 



(9) 



f 



F' 



I 



b 



B' 







(10) 



