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Bulletin de iMcad^iiiie Imp^riaie 



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dM 



E[dp 



dN=e 



T 



S 



T 



S 



(-1 



c 



c 



eP 



\dx 



E 



W e 



S 



e 



g 



-(a' 



P 



dx 



7^^'] 



et remplaQant A' — ^p par 

 V' et - par iV' on aura: 



V^ I par iV; a 



« 



jj par 



V 



J.}/ 



E\df 



dN 



e 



T 



~S 



w 



Nq 



N'q 



Vdx 



V'dx 



iV'ds] 



(20) 



(21) 



(^) 



Si S etait nul en meme temps que B, il faudrait 1 pas etre nuls en meme temps que 



diviser I'equation donnee par T, et comparer les coef- 

 ficients de r, s, t avec les coefficients correspondants 

 de I'equation (6), apres I'avoir divisee par fA' — a'P. 

 Ces nouvelles Equations ne peuvent cependaut pas 

 ■determiner dM et dN, puisque F et f deviennent infinis. 



6. Les deux systemes (a) et (^) sent done les seuls 





M = 9-/V ne contiendrait 

 done representer une int%rale premiere) on pourra 

 ours dans ce cas diviser I'equation (5) par fF. Par 

 e division on obtientau lieu de I'equation (6), I'e- 



quation suivante : 



determinent dN et dM. 



E ni 



deviennent 



Mais comme il faut ad 



la possibilite pour £ et c de se reduire a zero, 

 pourra dans ce cas diviser I'equation (5) par 



3. On pourra cepen- 



{b'E' 



e'B) r 

 e') St -4- 



B' 



f if 



eA 



fr<f 



aK) s 



a)t 



E')s' 



denote 



1 





ih'A'—aB') = 0. 



y et ^ par a, A, b, B, e, et 



Ee, comme 11 a ete fait au i 



dant la diviser par le produit de deux au 



tes qui ne sont pas nuls; et comme F et / 



difficile de 



qu 



ob 



dN en chanseant dans les formules 



cedentes E en F, B en T, dp en dq, dx en dy et r6ci 



b F 



proquement, d'ou il resulte, lorsque T n'est pas nul 



dM 



dN 



F[dq 

 f[dq 



R 



mT 



R 



inT 



Vdx 



V'dx 



w 



w 



T 



{V 



Np)m 

 N'p)m 



Nq]dy 

 N'q] dy 



■Ndz'j 

 N'dz'j 



(22) 



(23) 



(T) 



et lorsque r= 0, 5 n'etant pas nul: 



dM 



F 



dN 



f[dq 



R 



S 



R 



S 



w 



w 



s 



Npj dx 



N 



dx 



Vdy 

 V'dy 



(24) 



iVd^] 



iV'dz] (25) 



(5) 



degre et du premier ordre a plus de deux variables 



Les quatre systemes (a), (p), (7) et (S) dont depend 

 la determination de M et iV, sont done les seuls pos- 1 puisse etre r,endue une differentielle exacte, sans au- 



sibles. lis sont au fond les memes que les deux sys- 

 temes (1) et (2), quoique, dans des cas particuliers, 

 presentes sous une forme plus geuerale. 



n. 



7. Apres avoir trouve les formules pour determi- 

 ner dM et diV, il reste maintenant a savoir : quand 

 les seconds membres des systemes (a), (^), (y) et (S) 



peuvent 



integres , 



gardant 



des facteurs propres a les rendre des differen 



tielles exactes. 

 Pour qu'un( 



expression differentielle du premier 



cune relation' entre les variables, il faut qu'elle satis- 

 fasse a certaines conditions. Les seconds membres 

 contenant cinq variables, il faut, qu'a I'aide des inde- 

 terminees qu'ils contiennent, ils satisfassent a six Equa- 

 tions de condition, ce qui, dans le cas present, n'est 

 pas toujours possible, vu qu'on n'a, dans chacun des 

 seconds membres , a disposer que de deux indeter- 

 minees. 



Pour ne pas avoir besoin de chercher diff^rentes 

 formules pour I'integrabilite de chacun des quatre 

 systemes, nous les representerons tons sous la meme 

 forme. 



