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ae» Sciences de Saint -Petersbour^. 



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Regardant par cette raison I'equation (40) comme 

 une suite de (38) et (39), la premiere condition pour 

 que les cinq autres equations puissent exister conjoin- 

 tement est evidemment : 



V, 



a 



U2 sont du premier degre par rapport 



h V, c.-a-d. de la forme 



aV 



? et ol'V 



on aura 



fi)V 



0; 



d'ou 11 suit qu'on a : 



de cette derniere Equation (46j v^rifient 

 IS de condition (i). 



10. n faut done pour Texistence d'une ii 

 premiere que cliacune des deux racincs de 1'6 



o 



ifie les cinq 6quations de condition (t) ou que 



quation 



a 



a 



a 



a 





 



(^) 



\^ 



V 



K- 



V 



t: 



7C 











0}....(x) 

 







ou 



V 



r 



? 



1 1 . Jusqu'ii pi 



a 



a 





deux syst^ 



differentes valeurs de 



Si cette valeur de V verifie les cinq equations, il 

 s'ensuit que I'equation (28) du systeme [Q est inte- 

 grable; mais comme il n'y a qu'une seule racine pour 

 K, il est clair que I'autre equation (29) du meme sys- 

 teme ne pourra pas etre integree, et qu'il n'existe 

 pas une premiere integrale. II faut done, pour I'exis- 

 tence d'une premiere integrale, que les deux equa- 

 tions C^) aient lieu; et il ne restera a examiner que 

 les trois autres equations (41), (42), (43) et une quel- 

 conque des deux equations (38) ou (39), p. ex. (38). 



et il reste 



encore 



systemes (p) et (S), c.-i-d. h 



former le systeme (s) en (3) 



Posant h. 



effet 





m 







p 



i 



b 



m6me 



ausfo 



dx en dy et reciproquement, le systeme 



dM 



E[dp 



dN 



e 



T 



S 



T 



S 



5 

 W 



s 



N 



dx 



N^'p ) dx 



Vdy 



-H Vdy 





i 



p 



ou en 



■ 



dV 



En eliminant ^ de (38) et (42), on obtient: 



dp 



F 



dV 



a 



dV 

 dy 



a 



dV 



dz 



V 



1 







(44) 



En 



(41), on aura: 





de cette derniei 



de 



F 



or 



dx 



ibG 



mF) 



dj 



dy 



dl 



p_(„,2-H2,)F]:^-Ht/,=0. (4a) 



d 



Combinant cette derniere equation avec (43) on aura: 



I 



6 



v 



s 



et comme 

 a F, c.-a-d 

 il s'ensuit 



i/g et U^ sont du 

 de la forme ;jlF^ 



0, 



second degre par rapport 



vr 



7: etp- > 



' ir 



/} 



7t 



^ 



)V- 



v') V 



K 



Iv 



0;..(46) 



d'oii il faut qu'on ait les trois conditions 



\^ 



V- 



0, V 



V 



et 7: 



TZ 



bien, si ces conditions n'ont pas lieu, que les deux 



Tcme IV. 



dM 



E[dp 



r 



s 



-,dq 



dN 



e 



r 



s 



-.dq 



S' 



N 



dx 



Vdy 



s' 



N.'v) dx 



iP 





Vdy 



N;d/] 



d-Zj et remplagant - 



par s ou z 



ay ant fiiit -dz = 



par -z' et ayant denote par T', S', W' ce que devien- 

 nent r,5, ff^par ce dernier changement. Mais comme 

 a est une variable independante, s' ou -s doit aussi 





etre regarde comme telle; et pour ne pas regarder 

 introduit par le changement de z en -5' comme va- 

 riable, on pourra remplacer z par -.z et restituer ~ 

 au lieu ^, apres les differentiations faites. 



Quant au systeme (S), il pent d'abord etre mis sous 

 la forme de (^) en cliangeant x ^n y, p en j, r en / et 

 reciproquement, comme cela a ete fait au n" 7 avec 

 le systeme (7), et ensuite on pourra eutreprendre la 

 derniere transformation qu'on vient de faire avec le 



systeme (^). 



