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des Sciences de Saint -Petersbourgr. 



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egales, pour que les coefficients de V et N de I'equa- 

 tion (37) puissent etre nuls a la fois. II ne faut done 



(Pp-^Lz-M) 



dV 

 dp 



PV 



dV 



dy 



P 



dP 



dx 



Z 



dx dx 



0. (54) 



qii'alterer line dc ccs conditions pour ramener le cas' J^V 

 present au cas ou les coefficients ne sont pas nuls a 

 la fois. On pourra a cet eifet ajouter a R une con- 

 stante k, sans rien changer a T, et apres avoir obtenu 

 les equations de condition (x), faire k 



0. 



13. Pour donner iin 



requation connue : 



exeraple simple, examinons 



dh 



dxdy 



P 



dz 



dx 



Q 



dy 



Lz 



M 



0. 



oil P, Q, L et M sont des fonctions de x et y. 



Les deux systemes (a) et (y) ne peuvent pas etre 

 employes , puisque R et T sont nuls ; mais les deux 

 systemes (^) et {t) donnent, si Ton denote 



P 



dz 

 dx 



Q 



dz 

 dy 



L 



M 23ar TV : 



dM 



dN 



et 



dM 



dN 



E[dp 

 e [dp - 



{W 



{Jf 



\r 



- A?) ^y 



N'q) dy 



Vdx 

 V'dx 



Nd 



N'dz] j 



. . . . (X) 



F[dq 



[TV- 



Np) dx 

 Np) dx - 



-Vdy 

 Vdy. 



■Ndz] 

 N'dz] 



— iv) 



Les equations de condition pour que le premier de 

 ces systemes soit integrable sont : 



d\ 

 dq 



dV 



dq 



dW 











dq 



N 



Q 



dTV 



dq 







I 



/ 



dy 



dp 



N 



dV 

 dp 



dN 

 dx 



dV 



dz 



0. 



dp 



9 



dN 

 dp 



[H 



v_ 



Ng) 



dp 



dW 

 dx 



dN 

 ^di 



dV 



dy 







V 



d^ 



dy 



A 



ydV 



{TV 



dy 



Nq) 



N 



dW 



dx 



dN' 



3^ 



iff 



r 



Nq) 



dN 

 dx 



dV 

 d 



V 



/ dW 

 \ dT 



dN 







La premiere et la troisieme de ces equations donnent 



N 



dW 



~dq 



Q 



En introduisant 



dans 



trois dernieres 



equations et pour IF sa valeur Pp 



Qi 



I 



3f, 



Q 



dv 

 dp 



d\ 

 d 



quati 



dQ 



dx 







(53) 



P 



{Pp 



dP 



dx 



Lz 



M) 



dl 

 lz 



(Pp 



Lz 



dL 

 dx 



2)0 



Q 



dV 



dy 



y 



M) 



rdQ 



dy 



dQ 



dx 



0. 



(55) 



En eliminant 



{Pp 



Lz 



M) 



d]7 



dV 

 d7 



de (53) et (54), on obtient: 







<2F 



dy 



{Pp 



Lz 



M) 



dQ 

 dx 



P0\ 



P 



dx 



dL 



dx 



dJi 



dx 



o 



et en combinant cette equation avec (55), on obtient: 



L 



PQ 



dQ 



dy 



y 



d'ou Ton a I'equation de condition : 



L 



PQ 



dQ 



dy 







(56) 



Si Ton prend I'autre systeme (ix), on trouvera de la 

 meme maniere la condition : 



L 



PQ 



dx 



0; 



(57) 



■ L 



et comme les systemes (X) et {^) sont les seuls qui 

 determinent M et iV, il s'ensuit que I'equatiou doun^e 

 n'admet une integrale premiere que lorsqu'une des 

 conditions (56) ou (57) est remplie. 



in. 



14. Apres avoir trouve les equations de condition 



pour determiner si une equation differentielle partielle 



du second ordre a une integrale premiere ou non, il 



ne sera pas difficile de trouver les conditions qui doi- 



vent avoir lieu pour que la methode d'Ampere puisse 



etre employee. 



Sans entrer dans les details, nous remarquerons 



que I'integrale de Teqnation 



Rr 



Ss 



Tl 



TV 







depend, d'apres la methode d'Ampere, du systeme 

 des trois equations : 



oil Ton a a 



dz 

 s 



R 



adq- 

 mdx 

 pdx ■ 



hdx 











qdy 



m 



et 6 



w 



R 



, m etant une des 



racines de I'equation 



Rm 



3 



Sm 



T 



0; 



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