3-2 KULETINUL SOCIETĂŢII DE SC1INŢE 



1. Consider o curbă strîmbă C şi caut a determina o curbă strîmbă 

 C t , care să aibă curba C ca loc al centrelor sferelor osculatrice. Se pote 

 vedea uşor că cestiunea revine la căutarea traiectoriilor ortogonale ale 

 planelor osculatore ale curbei C, saii, ceea ce e acelaşi lucru, la căuta- 

 rea traiectoriilor ortogonale ale planelor tangente ale suprafeţei desfăşu- 

 rabile a cărei aretă de rebrusement este curba C. In adever, fie AI şi M x 

 doue puncte corespundătore ale curbelor C şi Q ; se scie că planul os- 

 culator în M e normal în M x la curba Q. Deci, observaţiunea precedentă 

 e justificată. 



Pentru determinarea curbelor Q, însemn cu u, v coordonatele punc- 

 tului Mj în raport cu un sistem mobil de axe format din tangenta şi nor- 

 mala principală la curba C în punctul M corespundător luî M^ In ceea 

 ce privesce direcţiunea positivă pe tangentă şi normală ; fac convenţiu- 

 nea obicinuită: tangenta e positivă în sensul arcelor crescânde, iar nor- 

 mala principală către centrul de curbură. Aşa fiind, coordonatele x u y 1} 

 z 3 ale punctului Mj în raport cu axele fixe vor fi: 



/ x x = x -f~ ua -f- va' 



(i) yi — y + u? + vp' 



ţ Zi = z + uy + vy' 



a, [j, y fiind cosinusele directore ale tangentei şi of, |3', f ale normalei 

 principale, şi în care trebue să determinăm pe u şi v aşa ca tangenta 

 în M x să fie p ralelă cu binormala curbei C în M, adică 



dxj = ka", d yi = k[3", dz x = kf 



Din (1), ţinend semă de formulele luî Frenet, obţinem prin diferenţiale 



şi alte doue tormulc analoge. Deducem de aci 



du v dv u 



ds^R ~ ' d s = ~~ R 



J R 



sau punând 



(2) 

 se scoto 



(3) 



de undo 



(4) 



u = 





dv 



' dO 



du 



de = 



= V 



— R 



d 2 v 



+ 



V = 



