BtjELTINtJL SOCIETĂŢII DE SCÎÎNŢE 35 



b însemnând unghiul de contingenţă, rezultă că 8 este unghiul, pe care-1 

 face o tangentă cu tangenta în punctul iniţial la curba C. Aşa fiind, ecua- 

 ţiile ■ (7) si (8) arată că A şi B sunt coordonatele punctului M^v) în 

 raport cu un sistem de axe Ou, Ov; O frnd centrul de curbură al curbei 

 C şi Ou făcend cu tangenta in M un unghia egal cu ~ — 0: aşa că în 

 poziţia iniţială Ov are sensul oM (invers sensului pozitiv pe normală), iar 

 Ou este paralelă cu tangenta în acea poziţiune şi îndreptată în sens in- 

 vers. Resultă de aci, că planul osculator al curbei C pote fi considerat ca 

 legat invariabil de unghiul uOv definit maî sus şi atunci orî-ce punt al 

 planului osculator descrie o curbă oi togonală acelui plan. 



Se pote da o representare geometrică maî simplă mişcării planului 

 osculator. Să considerăm cercul osculator în M şi fie m puntul unde Ov 

 (direcţia pozitivă) întălnesce acest arc. Se observă că vOM = 0, deci 



arc Mm = aO = s 



aşa că puntul m pote fi considerat ca poziţiunea pe care o ocupă puntul 

 de contact iniţial când presupunem că arcul osculator se rostogolesce pe 

 curba C. Avem prin urmare resultatul următor: 



Dacă se consideră cercul osculator al unei curbe strîmbe cu curbură con 

 stanţă C ca rostogolindu-se pt acea curbă, orî-ce punt al planului osculator 

 privit ca legat invariabil de cercul osculator descrie o traiectorie ortogo- 

 nală acelui plan. 



Reciproc : Dacă se consideră în planul osculator al unei curbe C un cerc 

 de rasă constantă tangent la curbă, pe care-l privim ca rostogolindu-se 

 pe curbă ducend cu sine planul osculator, şi dacă în acea mişcare orî ce 

 punt al pianului osculator descrie o traiectoi'ie ortogonală acelui plan, curba 

 C este cu curbură constantă. 



In adever, atunci are ecuaţiunile (7) şi (8) unde a e o constantă 6re- 

 care, iar 6 e definit prin 



ds 



şi înlocuind u şi v în (3) şi (4) se găsesce 



a = R. 



6. — Cele doue proposiţiunî precedente se pot genetaliza, considerând 

 în locul planului osculator, un plan P trecend prin tangenta curbei C în 

 M şi făcend cu planul osculator un unghiii constant. Se obţine printr'un 

 calcul analog cu cel precedent, următorele doue proprietăţi: 



Se consideră o curbă cu curbură constantă C şi un cerc K tangent la 

 curbă, situat în planul P şi având ca centru puntul unde axa polară a 

 curbei C întîlnesce planul. Fie-care punt al planului legat invariabil de 

 cercul K, pe carc-l privim ca rostogolindu-se pe curba C, descrie o traec- 

 torie ortogonală acelui plan. 



Reciproc: 



