BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 155 



Coeficenţi a\ . . . b\ . . depinzend de aceia ai dreptelor P şi Q. La 

 o valore a luî X 2 , relaţiile (8) şi (10) fac să corespundă câte două valori 

 pentru X 2 şi X 3 , prin urmare pe fie-care rază, ce pornesce din 1; se va 

 găsi, afară de punctul O^ încă alte două puncte de ale curbii, care va 

 fi deci de ordinul III-lea. 



Reciproc: Fiind dată o curbă de gradul III-lea, se pote în tot-d' a-una 

 găsi trei fascicole de drepte şi o relaţie omografică, care să descrie prin 

 intersecţia lor, în acelaş punct, curba considerată. 



Acesta resultă imediat din generalităţile de maî sus. O curbă de gra- 

 dul III-lea cuprinde 10 termeni, identificând ecuaţiunea eî cu (9), vom 

 stabili 9 relaţiunî de condiţiune. Cele trei fascicole de drepte depind de 

 9 parametre arbitrare, iar relaţiunea omografică de ordinul al III-lea co- 

 prinde încă 7 coificenţî arbitrari; prin urmare ceî 16 coificenţî de care 

 dispunem ar depinde de 7 orî-care dintre eî. In realitate însă, numerul 

 coificenţilor, care remân arbitrari, este numai de 5, cum se va vedea maî 

 la vale, dintr'o demonstraţie directă şi geometrică a teoremei anunţate 

 maî sus. 



.Of Q Z 



(Fig- 1). 



4. Fie O l5 2 , O a treî puncte fixe, luate arbitrar pe cubica considerată, 

 A un al patrulea punct, a căreî poziţiune o vom determina în urmă. 



Unind O x şi O, cu A, dreptele O x A şi 0. 2 A tae cubica în câte un 

 al treilea punct : B şi C, dreptele 3 B şi 3 C vor tăia curba încă în 

 punctele D şi E, unind O a cu D şi O x cu E intersecţia dreptelor O^ E şi 

 2 D va fi de asemenea un puuct al curbei. 



In adever fie (C) cubica dată, sistemul dreptelor: (O x A B), (0 3 C E) şi 

 (0 2 D) formeză o a doua cubică (C); de asemenea sistemul dreptelor: 

 (O a AC), (O s BD) şi (Oi E) formeză o cubică (C); cele treî cubici, 

 (C), (C) şi (C") au 8 puncte comune, rezultă, în virtutea uneî teoreme 

 cunoscute, ca ele vor avea şi un al noulea punct comun, care nu pote 

 fi de cât cel de al noulea punct de intersecţie al cubicelor (C) şi(C"), 

 adică punctul F. C. C. T. D. 



Acestea fiind stabilite, fie: 



Pj, P 2 , P 3 primi membri aî ecuaţiunilor dreptelor: O x A, 2 A, O s B ; 



