(12) 



BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 157 



5. Dacă între relaţiile (8) şi (10) se elimină unul din parmetre, X 3 s. ex. 

 se obţine o expresie de formă: 



(11) A^ X 2 + BX 2 x: + CX X X, + . . . = o, 



care determină valorile luî X x corespundătore unei valori date luî X 2 ; iar 

 punctelor curbei se obţine prin intersecţia razelor: 



I Pi + \ Qi = o 



i p, + x.Q. = o. 



Acest rezultat pare în contrazicere cu ceea ce am stabilit la început, 

 căci am vedut ca în genere este imposibil a descrie o curbă de gradul III, 

 numai prin intersecţiile a doue fascicole de drepte, ale căror parametre 

 ar satisface unei relaţiunî algebrice de formă (11). 



Acesta contradicere pote fi însă explicată, prin acea ca nu ne putem 

 servi de relaţia (10), pntru a determina punctele curbei din vecinătatea 

 luî O x şi 2 ; căci dacă se dă luî X 2 şi X 3 valorile, pentru cari razele ce 

 pornesc din 2 şi 3 trec prin O lf relaţia, care exprimă că cele 3 raze 

 sunt concurente, va fi identic satisfăcută, şi va trebui determinată valorea 

 corespundetore a luî X M numaî din relaţia omografică, fără a ne maî servi 

 de cea-laltă relaţie între parametre, şi eliminarea parametrului X x între 

 (8) şi (10) nu se maî pote face. Exceptând însă punctele situate în vecină- 

 tatea vârfurilor celor 3 fascicole, tote cele-alte puncte ale curbeî pot fi 

 determinate de fascicolele (12) şi relaţia de condiţie (11). 



6. Fie X'j valorea luî X x , corespundetore valorilor X' 2 şi X' 3 , pentru cari 

 razele, ce pornesc din 2 şi 3 , trec prin O l5 drepta: 



Pi + X'i Qi = ■ o 



represintă tangenta la curbă în acest punct. 



In adever, fie X'^ o valore a luî Xj forte apropiate de X' l5 punctele 

 de intersecţie ale drepteî: 



P 2 -f X" Qi = o 



cu cubica, sunt, punctul O n şi alte doue puncte determinate de drepta 

 de maî sus, şi de conica: 



[ P 2 + ^Q 2 = o 



( 13 ) P 3 +X 3 Q3=0 



I /(V'AA) = o. 



Or, când X x " coincide cu X/ cortica acesta trece prin O l5 căci sistemul 

 de valori X/, X. a ' şi X 3 ' verifică relaţia: f (X ls X 2 , X 3 ) = o, prin urmare 

 doue din punctele de intersecţie ale cubiciî cu drepta vor coincidă cu 

 Oj, şi drepta va fi tangentă la cubică. 



Dacă se presupune că drepta (X/) trece prin 2 , atuncî acesta drepta 

 va fi tangenta la cubică şi în O y şi în 2 , adică va avea patru puncte 

 comune cu ea; deci în caşul acesta cubica se va descompune în drepta 

 O x 2 şi o conică. 



