BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 169 



7 2 (3 a 



(4)-^- + _P__i =0 ; 

 ' p— r q — r 



(5) PX qy 



(p-r)' _ (q— •)' _,. 



p_ r q _ r 



scoţând pe a, /? din (5) şi ducendu-le în (3) obţinem înfăşurătorea dreptei 

 (3) elipsa 



x 2 y 2 _ 



(li) (p-r)3 + (q-r)3 - 1> 



p 2 q 2 



In mod analog în planul x z obţinem iperbola 



x 2 z 2 _ 



(H') (p^q^ - lq^tf - 1 - 



p2 r 2 



Cu uşurinţă se observă că E, E' şi H, H' respund la teorema. 



V. Polara unuî focar a, (3, o) în raport cu urma cilindrului director şi 

 cu polara piciorului directriţeî corespundă'core în raport cu linia focală 

 se intersecteză după o curbă cruce, dacă linia focală e elipsă şi după o 

 curbă indicată (în figura 5'), dacă linia focală este iperbola din planul x r. 



Ecuaţiile liniei focale şi a urmei cilindrului director din planul x y sunt 



x' J y 2 „ p — r , q — r 



+ -^— = 1 , x 2 ■*— + y 2 ±— = 1; 



p — r ' q — r p a ' ' q 2 



luând în considerare şi relaţiile ce există între coordonatele unuî focar 

 şi a piciorului directriţeî corespundătore, ecuaţiile celor două polare con- 

 siderate vor fi 



(1) a Mx4-P^y=l ; (2)^P- x-4- jlX- v=l; 

 \ i pi T^ q2 y M l (p_ r )2 ^ ( q _ r )2 ' 



Eliminarea luî a, (3 între aceste doue ecuaţii şi relaţia 



7 2 8 2 



(3) -A_ + _ ^-=1 



p — r q — r 



ne conduce la o curbă de gradul al IV, locul intersecţiilor celor două 

 polare. Din (1) şi (2) scotem 



p 2 (p-r) 2 [(q-r) 3 -q 3 1 q 2 (q-r) 2 [(p— r)»- p 3 ] 

 a= -, (3= 



x [p 3 (q-r) 3 — q 3 (P~r) 3 ] ? [p 3 (q- r ) 3 — q 3 (p-r) 3 ] 



Substituim luî a şi (3 aceste valori în (3) şi avem 



