170 BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 



P 4 (p-r) 3 ["(q-r)»-q 3 T q 4 (q-r) 3 [(p-r) 3 -p 3 ] 



(4) -= ^ != ^-=i; 



x2 [P 3 (q-r) 3 -q 3 (p-r) 3 J y[pKq-r) 3 -q 3 (p-r) 3 ] Z 2 



care este o curba cruce, indicată în figura (4!). Curba analogă din pla- 

 nul x z se obţine schimbând pe y cu z şi pe q cu r 



P 4 (p-q) 3 [(r-q) 3 -r) 3 T q 4 (r— q){(p--q)»-p»Y 

 (5) _ . _ _ţ_ J j—j 



[p a (r-q)3_ r 3 (p— q)»] x « [p»(r-q)»-r» (p-q)»] z 2 



care are o formă indicată în fig. (5). Noî am presupus că p>q>r. 



La Hiperboloidul cu o pînză sau cu doue am avea proprietăţi ana- 

 loge cu cele enumerate la elipsoid, pentru liniile focale respectiv de a- 

 ceaşî specie (elipse sau hiperbole) ca acele considerate la elipsoid. 



Teorema VI. Polul dreptei, ce unesce un focar F cu piciorul D al 

 direcţiei corespundătore în raport cu secţiunea suprafeţei prin planul li- 

 niei focale, coincide cu intersecţia polarelor punctelor F şi D în raport 

 cu secţiunea suprafeţei prin planul liniei focale. (Teorema generală asu- 

 pra conicilor, cunoscută). Locul polului dreptei F D este o curbă- cruce. 



Insemnînd cu (a. p, o.) coordonatele unul focar, cu (k, â, c,) coordo- 

 nateld piciorului directriteî corespundătore, ecuaţia dreptei F D este 



(1) p (p-r) x-a (q-r) Y-a p (p-q) =o; 



dacă însemnam cu a, z coordonatele poluluuî tt, al drepteî F D indicat, 

 ecuaţia polarei punctului tc în raport cu 



x 2 y 2 



— + — — 1 =o 



p ' q 



este a z 



— x-f- — y — 1 = o; 



P ~ q 



identificând pe (1) cu acesta ultimă ecuaţie, obţin 



(2) P(p-r) 1 2 (q-r) 1 



P— q a p — q p 



Eliminând pe a p intre relaţiunile (2) şi ecuaţia 



a 2 pa 



■ -L = o 



p — r ' q — r 



Se obţine curba cruce 



p 2 (p-r) 1 . q 2 (q-r) 1 



= 1 



(p — q 2 ) * 2 ' (p — q) 2 t* 



Bogdan (*. Ionescu. 



