402 BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 



cu condiţia 



(2) a -\-b-\-c = o 



a, b, c fiind funcţiuni de x, j, 2, p, q. 



Aşa fiind, să considerăm o familie de suprafeţe 



/ {*, I, *, a ) = <> 



avend fie- care linii ombilicale. Este evident că suprafeţele paralele tutu- 

 lor suprafeţelor din familia precedentă au şi ele linii ombilicale, căci 

 egalitatea radelor principale de curbură într'un punct al unei suprafeţe 

 trage după sine egalitatea radelor de curbură în punctele corespundătorc 

 pentru tote suprafeţele paralele. Aşa în cât în realitate avem o familie 

 cu doî parametri 



z (x, y, z, a, b) — o 



de suprafeţe, cari au linii ombilicale. Insă, acesta din urmă familie o pu- 

 tem considera ca integrala complectă a uneî ecuaţiî cu derivate parţiale 

 de primul ordin, ecuaţie care pote fi considerată ca o integrală primă a 

 uneî ecuaţiî de forma (1). 



Se vede decî din analisa precedentă, că dintre ecuaţiile cu derivate, 

 parţiale de primul ordin cele cari au ca integrală complectă o familie de su- 

 prafeţe şi suprafeţele paralele sunt maî avantagiose pentru studiul liniilor 

 ombilicale. Forma generală a acestor ecuaţiunî rezultă dintr'un raţiona- 

 ment simplu. Normalele uneî suprafeţe formeză o congruenţă, normalele 

 uneî familiî de suprafeţe împreună cu suprafeţele lor paralele formeză 

 un complex. Ecuaţia acestui complex, adică relaţia care legă coeficenţiî 

 normaleî este ecuaţia cu derivate parţiale cerută. Ea are decî forma 



(3) F (p, q, u, v) = o 



unde am pus din causa calculului care va urma u = x -J- ps, v = y -\- qz. 



Problema care mi-o propun este să găsesc forma funcţiuneî F de 4 

 variabile p, q, u, v, aşa în cât ecuaţia (3) să aibă ca integrale suprafeţe 

 cu liniî ombilicale. 



2. Să derivăm (3) în raport cu x si y, obţinem 



(4) 



/-. , »\ dF . db dF . t dF 



( l + P 2 ) 1- -\-PQ ~r - ■ r -r + s -y = ° 

 1 t ' du ' ri a\ dp ' dq 



dF . ^ . dF , c .dF . dF 



cum însă ecuaţiile caii dau ombiliciî sunt 



1 < pi _ţg.^ H± 



r s t 



