BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 473 



'Mî propun aici a extinde la funcţiunile implicite, cele stabilite pentru 

 funcţiunele uniforme, mărginindu-me pentru un moment la caşul unui 

 numer finit de funcţiuni implicite algebrice. 



1. Problema pote fi enunţată în modul următor: 



Se daii n relaţiunî algebrice: 



(1) /, (x.y) — o, f 2 (x<y) — o f n (x,y) = o ; 



ast fel că pentru ori-ce valore finită a luî x, diferitele determinaţiunî ale 

 lui y, deduse din aceste relaţmni, să fie to'te finite. Se cere să se determine 

 o relaţiune algebrică : 



(2) F(x,y) = o, 



ast-fel eă pentru x = x z ; valorile determinaţhmilor finite ale luî y, deduse 

 din (2), precum şi valorile celor dîntăiu pi dei ivate ale acestor determina- 

 ţiunî^ să fie respectiv egale cn talorile lui y deduse din fi (x, y) = o şi 

 cu valorile celor dîntâiii pi derivate ale acestora (i = 1, 2, _?. . . n). 



Observ, că întrebuinţând limbagiul geometric, problema de maî sus 

 pote fi enunţată ast-fel : 



Fiind date n curbe algebrice fi , fi% . . . f n , care n'au nici o asimptotă 

 paralelă cu Oy. Să se determine o curbă algebrică F. ast-fel că punctele 

 de intersecţie ale luî F cu o drepta dată Di (x — Xi = o), să coincidă cu 

 punctele de intersecţie ale dreptei Di cu curba fi, şi cele doue curbe F şi 

 fi să aibă în punctele lor de intersecţie contacte de ordinul pi (i = 1, 2, . .n) 



Ecuaţia generală a curbelor, de un grad dre-care, cari trec prin inter- 

 secţia curbei fi cu drepta Di (x — Xi = o), este : 



(3) F(x,y) = fi (x, y) (fi (x,y) -f (x — xj^ ifj 2 - (x,y). 



Punctele de intersecţie ale curbei F cu drepta D^ sînt date de sistemele 

 de ecuaţiunî: 



( 4 ) { fi (*& = ° (5) ( W ( X #) = ° 



l X Xi = { X Xi = o. 



Prin ipoteză curba F nu are alte puncte comune cu drepta Di, de 

 cât punctele de intersecţiune ale curbei fi cu drepta Dt\ or aceste puncte 

 sînt tote determinate de sistemul (4) : prin urmare sistemul (5) trebue să 

 fie incompatibil. Fie : 



(6) epi (xy) = P, y>" + F, y"^ -f- . . ., -f P m -^ + Qi 



F oy P x .... P m —\ şi Qi fiiind funcţiuni de x. Pentru ca ecuaţiunile (5) să 

 fie incompatibile, trebue ca pentru x = Xi, P g , P t ... P m — ± sase reducă 

 la zero, iar Q { să aibă o valore determinată şi diferită de zero. Presu- 

 punând că am reunit cu ultimul termen din membrul al doilea (3) ter- 

 menii", care se reduc la zero pentru x = x z -, putem scrie : 



(7) F (x,y) = fii (x,y) Qi (x) + (x—xfiu ipi(x,y) 



