BULETINUL SOCIETĂŢII DE SCIINŢE 477 



Fie deci: 



(4) Qitx,y)=Qi(gi). 



Punctele de intersecţiune ale curbelor F şi gk (k ţ i) nu trebue să de- 

 pindă de curba g tj deci: 



(5) Qi(gi)=gkPi(gi), 



or am vedut că Qi nu depinde de cât de g,-, deci pentru ca relaţiile (4) 

 şi (5) să fie compatibile, trebue ca curbele gi şi g k să fie paralele; cum 

 gi şi gk sunt doue curbe ore-carî din acesta familie, resultă că curbele 

 g trebue să fie tote paralele între ele. Prin urmare putem representa ace- 

 ste curbe prin ecuaţiunile: 



(6) g — a x = o g — a 2 = o - . . . g — £„==<?, 



g representând o relaţie algebrică dată, iar a,, a 2 . . . a n nisce con- 

 stante date şi diferite. 



Procedând în mod analog ca în caşul când curbele g erau un sistem 

 de drepte paralele cu Oy, se găsesce că soluţiunea cea maî generală a 

 problemei pote fi representată prin: 



î=n i=oo j 



(7) F(x,y) = 2 fi (x,y) II Z (g) S A#fe _ ai ) + II(g)f fa y), 



unde: 



n(g) = (g — a 1 ) (g—a.-,) . . . (g - a n ) 



(g—aip 



iar ip (x,y) o expresiune algebrică arbitrară. 



Punend : 



Qi (g) = TU (g) - Aij (* — ai), 



şi făcând abstracţie de termenul, care cuprinde funcţiunea arbitrară xfj 

 putem scrie: 



i=n 



(8) F(x,y) = ^f(x,y)Q i (g). 



i=l 



Să luăm derivatele totale succesive din (8), avem : 



(9) dPF - T \n dPfi 4- C dQi dP ~ lfi 4 4- dPQi A 



In puncte de intersecţiune ale curbelor f şi g—ai, trebue să avem: 

 d* F d? f- 



Kp nisce constante diferite de zero. Prin urmare în aceste puncte, in- 

 tersecţiile curbelor f şi g — a^ va trebui să avem: 



