Ueber den fünften Gauss'schen Beweis des Reziprozitätsgesetzes. 



was man auch so furmii Heren kann, dass 



I m\ / m' 



\n j~~\ n 



sobald 



m ^ m' (mod. n) 



ist. 



Ferner ist für relativ prime m, n das Zeichen (7) offenbar 



( — 1) ", wenn es unter den Faktoren R 1 — | ft negative giebt; be- 

 deutet daher ^ {m, n) die Anzahl der negativen absolut kleinsten 

 Reste der Grössen . 



n — ^ 1 

 m 2 m 3 m 2 * 



n n n 



oder, anders ausgedrückt, 



■^ 1 — sgn. ^ — 

 (12) ^ (m, n) = ^ 5— ^-^ 



so wird 



(13) !"=(-!> • 



Dies vorausgeschickt, seien P, Q zwei positive, ungerade und 



relativ prime Znhlen; ferner seien tn und m' zwei beliebige ganze 



FQ— 1 

 Zahlen, die resp. zu P und Q relativ prim sind. Die ersten 



Zahlen der natürlichen Zahlenreihe 



^ = 1, 2, 3.. 



werden in acht Klassen eingeteilt, und zwar so, dass alle Zahlen g 

 derselben Klasse die gleichen Charaktere 



sgn. R\^Y sgn. p| 



m'g 



