12 III. M. Lerch: 



d. h., da 



nn' — 1 n — 1 n' — 1 _ (>* — 1) (w' — 1) 



2 2~~ 2 " 2 



notwendig gerade ist, 



(1«' &=m^) 



Wenn dieses Gesetz für positive ungerade m bewiesen ist, so 

 lässt es sich mit Hilfe der Substitution m = m' -{- hnn' auf beliebige 

 Zahlen m ausdehnen. 



Das bescheidene Lemma {A)^ dass wir durch eine leichte Modi- 

 fikazion des fünften Gauss'scheu Beweises des Reziprozitätsgesetzes 

 gewonnen haben, erweist sich somit als ein Gesetz, aus welchem alle 

 Fundamentaleigenschaften (14), (15) und (16) direkt fliessen. 



Dieselben gestatten aber auch den Zusammenhang des Zeichens 



Wh \ 



— I mit der Theorie dei Quadratischen Reste zu ergründen. Es 

 n ] 



folgt in der Tat aus (15) für m = m' 



m-\ l m\^ 



— '^1 



n \ n 



solange m und n relativ prim sind. Demnach ist unter der gleichen 

 Bedingung 



/ mV \ / ^ \ 



Es sei nun p eine ungerade Primzahl; alsdann zerfallen*) die 



p — 1 

 Zahlen 1, 2, 3, . . . .p — lin — - — quadratische Reste a, und in 



ebenso viele Nichtreste b. Für die Reste a ist die Congruenz 



x^ ^a (mod. p) 



lösbar, und somit folgt 





*) Wegen der näheren Begründung vergl. z. B. das zitierte Buch von 

 Bachmann. 



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