lieber den füiifteu Guusss'scheu Beweis des Reziprozitätsgesetzes. 13 



also hat mau für sämmtliclie Reste a 



-^1 = 1. 



P 



Sind ferner ô, h' zwei Nichtreste, so ist ihr Produkt eiu Rest, 

 folglich 



und hieraus 



P } \P 



d. h. das Zeichen ( — | hat für sämmtliche Nichtreste denselben 



\P 1 

 Wert. 



Existiert daher eine Zahl w, für welche 



P I 



ist, so ist sie ein Nichtrest und es ist alsdann für alle Nichtreste 



In diesem Falle hat also das Zeichen I — | den Wert -1- 1, 



\P I 

 wenn k ein quadratischer Rest von p ist, dagegen ist jenes Zeichen 



— 1, wenn k ein Nichtrest ist. 



Nun sind in den Fällen, wann entweder p ^eS (mod. 4), oder 



(TU \ 

 — =: — 1 ist, immer 



vorhanden, u. zw. ist im ersten Falle 



im zweiten Falle wieder 



(t) 



I — I = — 1, also m = 2. 



Es bleibt nur ein Fall übrig, nämlich wenn p ^1 (mod. 8). 



