14 lU. M Lerch: 



Immer dann^ wenn i — j == — 1, wird 



S í^l = o. 



und umgekehrt ist diese Gleichuog nur dann möglich, wenn einige 



V 



negativ sind. Also kommt alles auf den Beweis dieser letzten 

 P 



Relazion; dieselbe findet aber unter viel allgemeioeren Bedingungen 

 statt, es ist nämlich immer 



(17) 



M — 1 



solange n keine Quadratzahl ist. Für n=:s'^ folgt nämlich aus (16) 



:^=(f =B 



und dies ist gleich -f- 1 oder 0; je nachdem v und s relativ prim 

 sind oder nicht; ist daher n ein vollständiges Quadrat, so hat die 

 linke Seite von (17) den Wert <f> (n), d. h. die Anzahl aller zu n 

 relativ priraen inkongruenter Zahlen < n. 



Ein Mittel, die Gleichung (17j zu beweisen, giebt uns die 

 Goniometrie. Man beachte, dass offenbar 



sgn. R (x) = sgn. sin 2 x7t, 



und daher nach (7) 



(v)=^s"-^^' 



2km7c 

 sin 



Solange m relativ priin zu n bleibt, ist der absolute Betrag des 

 Produktes auf der rechten Seite offenbar gleich 



// 



. 2k7c 

 sin — ~ 

 n 



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