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lieber tleii ťiinťten Gaiiss'sclien Beweis des Reziprozitätsgesetzes. 15 



inaii bat daher die folí^ende Darstellung des Zeichens ' 



^'«> 0= 



k 



11 sin ^ 



i^k. 



= 1, 2, .. 



n — 1 

 ' • 2 



TT 2Z:;r 

 11 Sin 



h n 







welche von Eisenstein herrührt. 



Beachtet man, dass, wie leicht zu sehen 



n — 1 



_— T- TT 2Ä;r ^,— 

 2 VI sin ■=: V »* Î 



k w ' ' 



wo die Quadratwurzel positiv zu nehmen ist, so folgt aus (18) 



n — l 



M— 1 



2 



m \ -, I — ^ 5 / / . 2 kniTt 



sin 



(18") mt^^i-"- n 



Hierdurch ist der Zusammenhang der Kreisteilung mit der 

 Theorie der quadratischen Reste in einfachster Weise dargelegt und 

 auch ein Weg zur Einführung der Gaiiss'schen Summen gewonnen; 

 für unsere Zwecke sind jedoch diese Theorien entbehrlich, und wir 

 gelangen zum Beweise der Gleichung (17), wenn wir in irgend welcher 

 Weise die rechte Seite von (I8°j in eine Summe verwandeln^ in 

 welcher sich dann die Summazion nach m ausführen lässt. Setzen 

 wir der «Kürze wegen 



2''-i sin ÍC sin 2 ä; sin ox . . . . sin rx^0,- (x), 

 so erhalten wir successive 



^2 (x) =: cos X — cos 3 X, 



0^ (x) = sin 2 X -\- sin 4 ic — sin 6 x, 



0^ (x) = \ — cos ij X — cos 8 x-{- cos 10 a:, 



0- (x) = sin a? -|- si" ox ^ sin bx — sin Ha; — sin lo x 



-j- sin 15 X, 

 0g {x) ^= cos ÍC + cos 3 ÍC — 2 cos 7 x — cos 11 a? -j- cos 17 x 



-\- cos 19 a; — cos 21 a;, 



