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III. M. Lerch: 



und allgemein 



(19) 



^j, (x) z= ^(, -[- xl, cos X -\- A^ cos 2 X -\- . . . -\- 

 Ar(2r f 1) COS r (2 '/• -f- 1 ) X, 



0.2r -\{x) ^B-^ sin x-\- Br, sin 2 x -{-... -\- 

 -ßr (2Í--1) sin r (2r — 1) x, 



wobei die Koeffizienten Ä und B ganze Zahlen sind. Die Gleichung 

 (18°) lautet alsdann 



(18 



■) (t)V- 



= 20 



2 mn 

 n 



und sie bleibt auch dann richtig, wenn m und n einen von Eins ver- 

 schiedenen gemeinsamen Teiler haben, da im solchen Falle beide 

 Seiten gleich Null sind. Ersetzen wir in (18^) die rechte Seite durch 

 den aus (19) fliessenden Summenausdruck, so lässt sich die Sumraa- 

 zion nach m=iO, 1, 2, ... w — 1 leicht ausführen, da 



?i — 1 



S2mk7t 

 sin —-=0, 



m = " 



n — l 



S2mkn ^ . 

 cos ^^ oder n, 



711=1 ^ 



und es ergiebt sich hieraus, dass 



Sa. il^i = s 



eine gewöhnliche ganze Zahl ist; da alsdann wegen (18') 



n — l 



m 

 "o \ ri 



2S 



sein muss, so ist hieraus zu schliessen, dass der razionale Faktor der 

 linken Seite 



n — 1 

 Ol = \ 



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