18 III. M. Lerch: 



solange h durch p nicht teilbar ist. Ist dann q eine ungerade Prim- 

 zahl <ip, so ergiebt sich hieraus mit Hilfe des Reziprozitätsgesetzes 

 die Gleichung 



und daher wird p ein Rest des Moduls q sein. 

 Setzt man die Theorie der Kongruenz 



x"- ^^h (mod. n) 



für zusammengesetzte Moduli als bekannt voraus, so würde man hieraus;* 

 schliessen, dass die Kongruenz 



(a) x'' = p (mod. M) für M= 1 2. 3 ... (2 m -|- 1) 



möglich ist, sobald 2m-\-l<ip ist. Die Unmöglichkeit dieser 

 Kongruenz lässt sich aber nach Gauss (ein Ergänzungssatz vom 

 1. Gauss'schen Beweise des Reziprozitätsgesetzes) wie folgt dartun. 

 Es sei X eine positive Lösung der Kongruenz (a) ; da 2 w-|- 1 <C2J 

 ist, und p eine Primzahl, so ist p und daher auch x relativ prim 

 zu M. Nun ist aber wegen (a) für den Modul M 



x(p— 1^) (p — 22) . . . (p - m^} ~ X (x^ — 1 -) (x^ — 2^) . . (X- — m^) 



die rechte Seite hat den Wert 



(x-{- m) (x-{- m — 1) . . . . (x~\- 1) X (x — 1 . . . . [x — m) 



und ist daher durch M teilbar; demnach muss auch 



X (p—V) ip — 2^) . . . {p — mr-) 



durch M teilbar sein, oder da x relativ prim zu M ist, so wird 



{i) 



l p P ^ — 2^ p-m'' 



m + 1 [m + 1)- - 1^ (^ř"+ 1)=^ - 2^ ■ * ■ ■ (w'+lT'- m- 

 eine ganze Zahl sein. Wählt man aber 



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