III. 



lieber den fünften Gauss'schen Beweis des Kezi- 

 prozitätsgesetzes für die quadratischen Reste. 



You M. Lerch in Freibarg (Schweiz). 

 Vorgelegt am 9. Januar 1903, 



Wir bezeichnen in üblicher Weise mit E (rr) oder mit \x\ die 

 ganze Zahl, welche mit der positiven oder negativen reellen Grösse x 

 in dem durch die Ungleichungen 



E{x)^x<.E{x)^l 



P charakterisierten Zusammenhange steht. Diese an den Stellen 

 a? = 0, + 1-Î dl -1 • • • unstetige Funktion der reellen Veränderlichen 

 X genügt der Gleichung 



(1) E{x)^E{—x) = -h 



falls X keine ganze Zahl ist. Ferner ist für jede positive oder nega- 

 tive ganze Zahl k 



(2) E{x-^'k] = E{x)^'k. 



Aw^ diesen beiden Eigenschaften (1) und (2) der Funktion 

 E(x) folgert man bei ungeraden l die Kongruenz 



(3) E{x) = E(l — x) {moá. 2). ; 

 Ausser der Funktion E (^x) spielt auch die folgende 



(4) R{x) — x-EÍx-^^\ 



Sitzb. d. kön. böhm. Ges. d. Wiss. IL Classe. 1 



