Quadratische Lösungen des Normalenproblems von Kegelschnitten. 3 



puiikt der Scheiteltangeute von k in .4 mit der zu a parallelen 

 Asymptote n von li als der Polare des Punktes ^\. Ist k eine Ellipse) 

 so schneidet die Verbindungsgerade des zu einem Nebenscheitel ii von 

 k gehörigen Krümmungsmittelpunktes K^ und des Punktes I\ die 

 Scheiteltangente in B in einem Punkte der zu h parallelen Asymptote 

 b von h. Ist aber k eine Hyperbel, dann ist B der eine Endpunkt 

 der Nebenaxe und es kann K^ ebenso wie bei der Ellipse als Schnitt 

 der Senkrechten durch den Brennpunkt F zu BF mit der Nebenaxe 

 erhalten werden, und b geht durch den Schnittpunkt von K]^l\ mit 

 der durch den zweiten Endpunkt B^ der Nebenaxe zu a gezogenen 

 Parallelen. 



Wenn k eine Ellipse ist, so gibt Pelz in der herangezogenen 

 Abhandlung eine andere Bestimmung von a und b. Die Senkrechte 1\ auf 

 einen der Durchmesser d, d^ schneidet den anderen in einem Punkte 

 ^ von b, während die Senkrechte von Pg auf einen von ihnen den 

 anderen in einem Punkte 3Í von a schneidet. Die Polare des Schnitt- 

 punktes ^ von d mit b inbezug auf k ist nämlich parallel zu d^ und 

 geht durch ^\ ; der zu dieser Polare inbezug auf Anormal konjugirte 

 Strahl geht durch Pj , fällt also mit P, 33 zusammen, woraus die 

 Richtigkeit der angegebenen Konstruktion erhellt. 



Ist k eine Hyperbel mit den Asymptoten i, j\ — Fig. 2 — so 

 verbindet a die Fusspunkte der Senkrechten von P.^ , b die Fusspunkto 

 der Senkrechten von P, auf i und j. Denn zieht man beispielsweise 

 durch ^\ die Parallele p zu j, so ist ihr Pol der Schnittpunkt J, 

 von b mit j; somit ist die in J^ auf j gefällte Senkrechte zu p 

 normalkonjugiert und geht infolge dessen durch P^. 



3. Das Normalenproblem der Ellipse verlangt die Konstruktion 

 ihrer Schnittpunkte mit einer Apollonischen Hyperbel h. Liegt nun 

 der Mittelpunkt M von h auf einem der Duchmesser d, d^ , sagen 

 wir auf d, dann ist dieser Durchmesser die gemeinschaftliche Polare 

 des unendlich fernen Punktes D^ von d^ inbezug auf beide Kegel- 

 schnite k, h. Alsdann kennt man von dem gemeinsamen Polardreieck 

 der Kegelschnitte k, h die Ecke D^ und die ihr gegenüberliegende 

 Seite d; die Konstruktion seiner beiden durch D^ gehenden Seiten u, v 

 ist nunmehr quadratisch. 



Liegt der Punkt M auf d, so ist weiter seine Polare '^^^^ be- 

 züglich k parallel zu d^ und infolge dessen die zu ^^^^2 normal- 

 konjugierte Gerade P^P.2 senkrecht auf d^. Ferner ist OP antiparallel 

 zu P,P2 und d antiparallel zu d^ inbezug auf die Axen von k. 

 Darum ist auch OP ±^d und P ein Punkt der Geraden z/. Umge- 



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